image


image


image


image


image image


image


Учебник


Издание второе


*


image


image

УДК 519.86:65.012.32](075.8)

ББК 22.18 я73+65.290-2я73 П80


Автор – Прокопов Сергей Васильевич, доцент кафедры менеджмента Киевского национального университета технологий и дизайна, кандидат технических наук


Рецензенты:

А.М. Онищенко, доктор экономических наук, профессор, академик НАН Украины;

Л.К. Безчастный, доктор экономических наук, профессор, член-корресподент НАН Украины;

В.А. Точилин, доктор экономических наук, профессор


Прокопов С.В. Экономико-математическое моделирование

П80 в производственном менеджменте: Учебник. К.: ИМСО, 2017.

438 с.: ил. Библиогр.: с. 435 – 437.

ISBN 966-02-3650-6


В учебнике изложены наиболее важные теоретические и методо- логические аспекты экономико-математического моделирования в менеджменте промышленного производства. Основное внимание уделено вопросам построения экономико-математических моделей оптимизационных задач, а также методов их решения. Рассмотрено большое количество моделей, начиная с момента постановки задачи до проверки и анализа результатов полученных решений.

Предназначен для студентов высших учебных заведений, которые обучаются по экономическим специальностям, а также аспирантов и менеджеров.


УДК 519.86:65.012.32](075.8)

ББК 22.18 я73+65.290-2 я73


СОДЕРЖАНИЕ


Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Раздел I Введение в экономико-математическое моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


10

Г л а в а 1

Предмет и метод моделирования

§ 1.1. Предмет и задачи курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 1.2. Этапы моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 1.3. Из истории моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

16

22

Г л а в а 2

Классификация моделей и типы задач

§ 2.1. Классификация моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 2.2. Методы решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 2.3. Типы производственных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

39

48

Раздел II Методы и приемы экономико- математического моделирования . . . . .


58

Г л а в а 3

Методы и приемы моделирования

§ 3.1. Методы построения моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 3.2. Метод структурного моделирования . . . . . . . . . . . .

59

66



§ 3.3. Декомпозиционный и композиционный подходы . .

71

Г л а в а 4

Построение оптимизационных моделей

§ 4.1. Методы линейного моделирования . . . . . . . . . . . . . .

§ 4.2. Приемы линейного моделирования . . . . . . . . . . . . .

§ 4.3. Построение блочной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

81

91

Раздел III Решение оптимизационных задач

и анализ полученных результатов . . . . . .


98

Г л а в а 5

Решение оптимизационных задач

§ 5.1. Решение задач на компьютере . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 5.2. Интерфейс с пользователем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 5.3. Нахождение оптимального решения . . . . . . . . . . . . .

99

105

109

Г л а в а 6

Анализ результатов расчетов

§ 6.1. Постоптимизационный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 6.2. Анализ чувствительности модели . . . . . . . . . . . . . . .

§ 6.3. Чувствительность двойственной модели . . . . . . . . . .

117

124

131

Раздел IV Моделирование оптимального распределения ресурсов . . . . . . . . . . . . . . .


138

Г л а в а 7

Моделирование загрузки мощностей

§ 7.1. Оптимизация загрузки оборудования . . . . . . . . . . . .

§ 7.2. Оптимизация загрузки оборудования цеха . . . . . . . .

§ 7.3. Оптимизация загрузки оборудования предприятия

139

142

151

Г л а в а 8

Моделирование распределения ресурсов

§ 8.1. Оптимальное распределение ресурсов . . . . . . . . . . .

§ 8.2. Распределение ресурсов внутри цеха . . . . . . . . . . . .

§ 8.3. Распределение ресурсов на предприятии . . . . . . . .

157

160

167

СОДЕРЖАНИЕ



Раздел V Моделирование размещения

и развития производства . . . . . . . . . . . . . .


176

Г л а в а 9

Моделирование размещения производства

§ 9.1. Моделирование размещения предприятия . . . . . . . . .

§ 9.2. Модель многоэтапного размещения производства . . .

§ 9.3. Модель размещения многопрофильного производства


177

182

188

Г л а в а 10

Моделирование развития предприятия

§ 10.1. Моделирование альтернатив развития . . . . . . . . . . . .

§ 10.2. Модель инвестирования в развитие производства . .

§ 10.3. Модель инвестирования в развитие отрасли . . . . . . .


195

202

208

Раздел VI Оптимизация ассортимента продукции промышленного производства . . . . . . . .


214

Г л а в а 11

Оптимизация ассортимента продукции

§ 11.1. Моделирование специализации предприятия . . . . . .

§ 11.2. Оптимизация ассортимента продукции . . . . . . . . . . .

§ 11.3. Моделирование диверсификации производства . . . .


215

221

229

Г л а в а 12

Многокритериальные модели

§ 12.1. Многокритериальность моделей . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 12.2. Многокритериальность выбора . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 12.3. Решение многокритериальной задачи . . . . . . . . . . . .


235

241

248

Раздел VII Моделирование оптимального состава и рационального раскроя материалов . .


256

Г л а в а 13

Моделирование оптимального состава

§ 13.1. Оптимизация состава смесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 13.2. Оптимизация состава сплавов . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 13.3. Оптимизация состава растворов . . . . . . . . . . . . . . . .


257

262

267


image


image

Г л а в а 14 Моделирование рационального раскроя

§ 14.1. Модель одномерного раскроя 275

§ 14.2. Модель раскроя листовых материалов 281

§ 14.3. Модель раскроя рулонных материалов 286

Раздел VIII Параметрические и динамические

модели производства 292

image

Г л а в а 15 Параметрические модели производства

§ 15.1. Параметрическая оптимизация ресурсов 293

§ 15.2. Прогнозирование параметров моделей 300

§ 15.3. Параметры корреляции и классификации 310

image

Г л а в а 16 Динамические модели производства

§ 16.1. Модель запуска партий деталей 325

§ 16.2. Модель замены оборудования 332

§ 16.3. Модель выбора проектов 339

Раздел IХ Модели управления запасами

и массового обслуживания 350

image

Г л а в а 17 Модели управления запасами

§ 17.1. Общая модель управления запасами 351

§ 17.2. Оптимизация текущих запасов 358

§ 17.3. Оптимизация страховых запасов 363

image

Г л а в а 18 Модели массового обслуживания

§ 18.1. Особенности формализации моделей 371

§ 18.2. Постановка задач массового обслуживания 381

§ 18.3. Решение задач массового обслуживания 387

Словарь терминов 399

Список литературы 433


ПРЕДИСЛОВИЕ


Р

азвитие современного промышленного производства, увеличение масштабов выпуска продукции, расширение ее ассортимента требует решения ряда

сложных задач. В настоящее время становится достаточно очевидным, что полагаться лишь на опыт и здравый смысл при принятии ответ- ственных решений уже недостаточно, необхо- димы глубокие расчеты. В этой связи все более возрастает роль экономико-математического моделирования как эффективного инструмента экономических исследований.

Интерес к экономико-математическому моделированию в последнее время заметно усилился. Это обусловлено прежде всего рас- ширением сферы практического применения экономико-математических моделей для решения задач организации, управления и планирования развития производства.

Широкое применение методов экономико- математического моделирования в экономичес- ких исследованиях стало возможным во многом


благодаря растущему использованию современ- ных средств компьютерной техники, увеличению ее мощности. Создание специальных пакетов прикладных программ дало возможность значи- тельно расширить сферу практического при- менения методов моделирования, существенно упростить процесс нахождения оптимальных решений.

Экономико-математическое моделирование как эффективный способ решения задач промыш- ленного производства можно рассматривать не только как научную дисциплину, но и как искусство. Правомерность утверждения о научности подхода к нахождению оптимальных решений в менеджменте определяется тем, что при принятии решений наиболее эффективным образом используются математические модели и методы. Искусство моделирования состоит в том, что умение построения моделей и правиль- ность нахождения оптимизационных решений всецело определяется интеллектуальными, творческими способностями их создателей.

В учебнике на примерах решения большого числа задач, показаны возможности построения экономико-математических моделей промышлен- ного производства и получения оптимальных решений. Основное внимание при этом уделяется не только изучению и практическому использова- нию созданных ранее моделей, но и методам их построения. Все решения оптимизационных задач, полученные на компьютере, с использова- нием специальных пакетов прикладных программ, снабжены необходимыми комментариями и подробно проанализированы.

ПРЕДИСЛОВИЕ


image


Учебник состоит из девяти разделов, которые включают восемнадцать глав. В каждой главе учебника, рассматривается одна из тем, охватывающая три ключевых вопроса. Для лучшего усвоения учебного материала и его активного использования в практической деятельности автором было введено низку рубрик. После каждого параграфа идет “Краткое повторение”, которое помогает систематизировать полученные знания. Каждая глава заканчивается контрольными вопросами и заданиями. Решив эти задания и ответив на поставленные вопросы можно установить, какие из тем, требуют более детального изучения. В конце каждой главы приведены определения основных понятий, которые раскрываются в тексте.

Словарь терминов по экономико-матема- тическому моделирования и литература необхо- димые для изучения курса приведены в конце учебника.


image

Часть I

Введение в

экономико-математическое моделирование


image


* Тема 1. Предмет и метод моделирования

§ 1.1. Предмет и задачи курса

§ 1.2. Этапы моделирования

§ 1.3. Из истории моделирования


* Тема 2. Классификация моделей и типы задач

§ 2.1. Классификация моделей

§ 2.2. Методы решения задач

§ 2.3. Типы производственных задач

image

В этой главе мы выясним,

для чего

необходимо изучать моделирование,

что является объектом его исследова- ния. Также узнаем, какие методы применяют при построении моделей, какие при этом возникают сложности. И в конце, кратко рассмотрим историю развития моделирования.

Г л а в а

1

ПРЕДМЕТ И МЕТОД

МОДЕЛИРОВАНИЯ


§ 1.1. Предмет и задачи курса

image

Для чего следует изучать моделирование

Развитие современного промышленного производства ставит целый ряд достаточно сложных задач связанных с необходимостью постоянного совершенствования его организации и управления. Увеличение

масштабов производства, рост числа межпроизводственных связей, расширение ассортимента выпускаемой продукции делают применение методов экономико-математического моделирования одним из наиболее эффективных инструментариев экономических исследований. В настоящее время, все более очевидно, что полагаться лишь на опыт и здравый смысл при принятии ответственных экономических решений уже недостаточно. Необходимость применения экономико-математических методов, продиктована также тем, что в отличие от других исследователей экономисты лишены какой-либо возможности активного экспериментирования. Цена некомпетентности в принятии экономических решений является очень высокой. Последствия не- удачного экспериментирования в дальнейшем дают о себе знать на протяжении достаточно продолжительного периода времени. Платой за допущенные просчеты становится замедление темпов роста


промышленного развития, падение объемов производства, уменьше- ние получаемой прибыли, безработица, нарастание социальной напряженности. Применение методов экономико-математического моделирования при разработке наиболее перспективных вариантов развития промышленного производства открывает широкие возможности для принятия научно обоснованных, всесторонне взвешенных, комплексных решений.


image


Что такое модель

Модель достаточно распространенное общее понятие которое очень широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. После когда о моделях заговорили буквально все –

астрономы, биологи, лингвисты, механики, физики, химики и экономисты, расхождения в трактовке этого понятия еще больше увеличились. Мы ограничимся только таким толкованием этого термина, которое нашло широкое использование в экономико- математическом моделировании.



Модель мысленно создаваемый, абстрактный образ реальной действительности, который в ходе исследования замещает объект-оригинал, в целях более глубокого и всестороннего изучения отдельных аспектов проблемы.


Модель является эффективным инструментом научного исследования. Основная особенность моделирования состоит в том, что это метод опосредованного познания действительности с помощью создаваемых модельных конструкций. Модель при этом, выступает ни чем иным, как абстрактной формой отражения идеализированной реальности, дающей возможность исследователю концентрировать основное внимание на главном, опустив все ненужное, второстепенное.

Понятие модели вытекает из наличия некоторого сходства между двумя объектами. Один из которых рассматривается как оригинал,


а другой – как его модель. Соответствие между оригиналом и его моделью заключается в сходстве, а не в тождественности их функционирования. Это значит, что модель не должна всецело копировать оригинал, но и не может слишком отличаться от него. Модель является тем условным образом, абстрактно изображающим основные взаимосвязи и зависимости, которые существуют в реальной действительности. При построении моделей абстрагируют- ся не только от несущественных черт, но и качества предметов и конкретного значения величин. Степень соответствия модели объекту-оригиналу при этом, может быть различной. Можно говорить о том, что одна модель больше соответствует оригиналу, чем другая, т. е. об адекватности модели оригиналу.

В отличие от материальных моделей (уменьшенных копий ракет, кораблей, автомобилей) абстрактные модели более универсальны. Если использование материальных моделей исследуемых объектов дает возможность получить такие данные, какие ни какая другая модель дать не может, то при изменении какого-либо одного параметра, необходима замена всей модели. Абстрактные модели лишены таких недостатков. Переход от исследования объектов одних физических размеров к другим не требует переделки всей модели. Абстрактной моделью называется система формализованных математических выражений, описывающих моделируемый объект или процесс. В абстрактной, или математической, модели все функциональные зависимости записываются в виде формул на математическом языке с помощью специальных знаков – символов.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения, проверки и применения моделей. Он наиболее тесным образом связан с такими гносеологическими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Моделирование включает в себя построение абстрак- ций, умозаключений по аналогии, выдвижение научных гипотез.


image


Предмет моделирования

Предметом изучения курса математического моделирования являются количественные харак- теристики работы промышленных предприятий, исследование межпроизводственных взаимо- связей и технологических зависимостей.

Применительно к промышленному производству методы экономико-математического моделирования могут быть использованы



в двух основных направлениях – совершенствования организационно- управленческой структуры и оптимизации технологических процессов. Опыт показал, что на этом уровне самые разнообразные организа- ционные, управленческие и технологические проблемы можно подвести к решению экстремальных задач, позволяющих из многих возможных вариантов выбрать оптимальный. В сфере решения проблем производства, применение экономико-математических методов моделирования состоит в определении интенсивности и характера использования ресурсов (сырья, материалов, оборудова- ния, живого труда, финансовых средств и пр.), обеспечивающих достижение наибольшей эффективности.


image


Метод моделирования

Основным методом данного курса является абстракция, построение абстрактных матема- тических моделей. Модель является ни чем иным, как упрощением реальной действи- тельности. Довольно ощутимое упрощение

наступает тогда, когда несущественные особенности моделируемой ситуации отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу. Именно при таком подходе в классической прикладной математике возникают блоки без трения, невесомые нерастяжимые нити, невязкие жидкости и многие другие подобного рода понятия. В идеальном газе столкновение двух молекул рассматривается как упругое соударение шаров; при этом результат соударения мыслится всеми одинаково. Эти понятия, не существуют в реальности, они являются абстракциями, составляющей частью идеализации действи- тельности. И тем не менее, их часто можно считать хорошим приближением реальных ситуаций моделируемых исследователем.

Методология экономико-математического моделирования представляет собой совокупность приемов и правил, формализации исследуемых экономических проблем, которые представляются и записываются в виде формул, векторов, матриц числовых коэффициентов, неравенств и уравнений (или в другой форме). Абстрактная математическая модель с ее идеальными объектами правильной формы, отношениями и операциями, определенным не противоречивым набором правил (определяющих аксиом),


является тем идеальным инструментом исследования, который дает возможность устанавливать общие отношения между полученными результатами.


image

Основная задача курса

Задачей курса является знакомство с новыми методологическими и методическими разработ- ками в области экономико-математического моделирования промышленного производства, обучение правилам построения моделей,

интерпретации результатов решения, приобретения практических навыков работы с пакетами прикладных программ на компьютере. Применение методов экономико-математического моделирования ставит своей целью решение ряда сложных экономических задач: распределения дефицитных ресурсов, размещения предприятий отрасли, совершенствования производственной структуры, оптими- зации производственной программы, оптимизации технологического процесса, оптимизации запасов, раскроя материалов и оптимизации состава смеси. Эти задачи, занимают очень важное место в развитии современного промышленного производства, однако, далеко не исчерпывают всех проблем его организации и управления. Круг решаемых проблем совершенствования организации и управления промышленного производства несомненно значительно шире и не ограничивается только этими задачами.


Краткое

повторение


image Абстракция отвлеченное идеализированное понятие отражающее реальность в достаточно упрощенной форме.


image Модель мысленно создаваемый, абстрактный образ реальной действительности, который в ходе исследования замещает объекторигинал, в целях более глубокого и всестороннего изуче- ния отдельных аспектов проблемы.



image Абстрактная модель система формализован- ных математических выражений, описывающих моделируемый объект или процесс.


image Моделирование процесс построения, изуче- ния, проверки и применения моделей. Включает в себя построение абстракций, умозаключений по аналогии, выдвижение научных гипотез.


image Адекватность соответствие модели модели- руемому объекту или процессу.


§ 1.2. Этапы моделирования


image

Процесс построения модели

Построение экономико-математической модели процесс, который включает ряд этапов: разработ- ку концептуальной модели; формализацию ее в математическом виде; выбор численного метода решения; проведение экспериментальных расчетов

на компьютере; анализ полученных результатов; их проверку. Это означает, что за первым циклом может последовать второй, третий, и т.д. Совершенствованию модели нет пределов. Процесс математического моделирования непрерывно ведет к последовательно усложняющимся моделям.

В процессе моделирования используются как уже имеющиеся данные, так и результаты специально произведенных расчетов, которые получают на предварительной стадии построения модели.

К сожалению, решаемые с помощью моделей задачи слишком сложны, чтобы их можно было рассчитывать в ручную, в связи с чем приходится прибегать к средствам вычислительной техники. Компьютер следует рассматривать как полезный инструмент для проведения рутинных расчетов, которые в принципе являются простыми. Следует отметить, что использование компьютера ничего нового к модели не прибавляет (хотя это может умалить ее ценность,


если расчеты сделаны не верно), поэтому достоверность и ценность модели почти полностью определяется тем, насколько разумны положенные в ее основу предположения. Блок-схема процесса форма- лизации модели в наиболее общем виде представлена на рис.1.1.


Процесс формализации модели



image

Разработка


Формализация Выбор

концептуальной модели

математической модели

численного метода



Реальность

Анализ результатов расчетов

Эксперимента- льные расчеты на компьютере


Внешнее дополнение


Рис. 1.1. Блок-схема цикла моделирования


image

Разработка концептуальной модели

На первоначальном этапе происходит сбор необходимых сведений и разработка концептуальной модели. Правильность формулировки модели не может быть всецело отнесена к числу объективных представлений.

Это предварительное, приближенное представление о изучаемом объекте или процессе, часто очень схематическое, которое фиксирует наиболее существенные параметры и связи между ними. На этом этапе, обычно ограничиваются рассмотрением не количественными, а качественными категориями. Формализуются основные цели, определяются возможные альтернативные варианты их решения,


устанавливаются общие требования и ограничения. При этом, обычно констатируется, что в рассматриваемом аспекте проблемы она в той или иной мере отвечает основным целям и задачам исследования.


image

Формализация математической модели

На втором этапе процесса моделирования, учитываются особенности постановки задачи, устанавливаются количественные соотношения, формализуются структурно- логические взаимосвязи и функциональные

зависимости. Это, в свою очередь, предполагает достижение возможного конструктивного компромисса за счет введения в модель некоторых абстрактных смысловых структур и принятия необходимых допущений и упрощений. Приняв их и формализовав модель, в дальнейшем уже невозможно оспаривать правильность сделанных ранее предположений. Единственное, что можно сделать, так это оценить насколько правильно были сделаны допущения. Цикличность процедуры экономико-математического моделирования и предназначена для испытания корректности при- нимаемых допущений. Если созданная модель соответствует некоторому общему классу математических моделей (например, моделям линейного программирования), то для получения решения удобно в дальнейшем воспользоваться уже известными математичес- кими методами. Если математические соотношения, используемые в модели, слишком сложны и не позволяют получить аналитического решения задачи, более подходящей для исследователя может оказаться имитационная модель. В некоторых случаях возникает необходимость совместного использования математической, имитационной и эвристической моделей. Проверка правильности построения модели осуществляется на всех этапах моделирования, начиная с разработки модели и заканчивая проверкой полученных результатов. Это не только предполагает необходимость проверки методологической корректности моделей, контроль их логической непротиворечивости, соблюдения требуемого соответствия размер- ностей, но также установления правильности выбора используемого численного метода, определения точности выполненных расчетов. В процессе верификации модели проверяется ее структурно-логичес- кую непротиворечивость, уточняют отдельные функциональные


зависимости и корректируется размерность отдельных задаваемых в модели числовых величин. Количество включенных в модель переменных и ограничений должно быть достаточным для решения



Верификация проверка истинности, правильности структуры (логики) модели, адекватности.


данной задачи, но не избыточным. Одним из основных моментов верификации модели становится определение ее оптимальной сложности. Иногда имеет смысл вначале построить небольшую модель, поскольку она может подсказать, как следует провести экспериментальные расчеты, чтобы получить требуемые результаты. Если модель используется для принятия решения относительно возможных объемов потребления ресурсов и выпуска продукции в регионе, то она не обязана быть слишком точной. При этом правильность полученных решений будет в необходимой мере соот- ветствовать экономическим условиям производства в том или ином регионе. Если же модель применяется к конкретному предприятию, потребителю отдельных видов ресурсов и производителю определен-

ного ассортимента продукции, то она должна быть более точной.


image

Выбор численного метода

Необходимым условием обеспечения требуемой степени точности при проведении эксперимен- тальных расчетов на третьем этапе является правильность выбора численного метода в соответствии с классом решаемых задач, а также

предметной области, для которой этот алгоритм наиболее применим. При использовании математической модели решение получают с помощью апробированных оптимизационных методов; при этом полагают, что модель приводит к оптимальному решению задачи. Нередко новые математические методы, используемы в экономико- моделировании для решения задач определенного класса, могут быть применены к другим задачах, часто значительно отличающихся от задач, которые послужили основой для их создания. В случае применения имитационных или эвристических моделей понятие оптимальности становится менее определенным и получаемое


решение соответствует лишь приближенным оценкам критериев оптимальности.

Высокий уровень выдвигаемых требований к робастности используемого алгоритма численного метода, его высокая надежность расчеты неточны. Это обусловлено тем, что для целого ряда решаемых задач созданы надежные алгоритмы, которые всегда работают и ситуации при которых все же возможны неудачи маловероятны и их можно игнорировать. Однако многие математи- ческие задачи алгоритмически неразрешимы. Это означает, что для любого алгоритма всегда найдется задача из той же предметной области, для которой этот алгоритм абсолютно непригоден. Примером такого рода задач, может служить вычисление с помощью методов линейного программирования интегралов, решение нелинейных и дифференциальных уравнений. Поэтому надежность определяет вероятность неудачи алгоритма, которая состоит или в отсутствии результата (что не так плохо), или в получении ошибочного результата (что очень плохо). Робастность тесно соотносится с надежностью, однако дополнительно заключает в себе знание того, где и по какой причине алгоритм потерпел неудачу. Можно сказать, что алгоритм численного метода является рабастым, если все его неудачи не являются неожиданными и могут быть идентифицированы. Сложность процесса моделирования затрудняет не только построение экономико-математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности полученных результатов.


image

Выполнение экспериментальных расчетов

На четвертом этапе моделирования – выполнения экспериментальных расче- тов, производится окончательная коррек- тировка параметров модели, вносятся необходимые изменения и дополнения.

Главной формой исследования на этом этапе, является проведение “модельных” экспериментов, когда преднамеренно изменяют условия функционирования модели, собирают и систематизируют данные о ее “поведении”. Важное место при этом отводится валидации – проверке правильности результатов получаемых в процессе компьютерной имитации. Проверка результатов расчетов производится тогда, когда экспериментатор убедился на предыдущей стадии (верификации) в правильности построения модели.


Точность полученных результатов оценивается путем их сравне- ния с реальными данными. Это требует не только экспериментального подтверждения их соответствия, но также и расширения норма- тивной базы проводимых исследований. Варьирование параметров



Валидация проверка правильности результатов экспериментальных расчетов получаемых в процессе компьютерной имитации.


модели в широких пределах, при проведении экспериментальных расчетов на компьютере, дает возможность исследовать диапазон устойчивости получаемых оптимизационных решений. При этом, весьма важно исследовать возможные изменения оптимума в зависимости от соответствующих параметров модели, в некотором интервале их количественных значений.


image

Анализ полученных результатов

На пятом этапе – анализируются результаты решений, оценивается правильность и точность выполнения расчетов, рассматриваются дополнительно полученные данные. При этом знания об исследуемом объекте или процессе

расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершен- ствуется. Если предыдущие этапы моделирования были выполнены очень тщательно, то полученные результаты будут легко интерпрети- рованы и правильность полученных результатов, не будет вызывать никаких сомнений. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные недостаточными знаниями об объекте и ошибки в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития. Компьютеры используемые сейчас для решения системы уравнений, могут быть использованы и для проверки правильности полученных решений путем сравнения результатов экспериментальных вычислений с имеющимися данными и внесения необходимых корректив в матрицу оптимизационной модели.


Краткое повторение


image

Валидация проверка соответствия результатов, полученных в процессе компьютерной имитации, реальным данным.


image

Верификация проверка истинности, правиль- ности структуры (логики) модели, ее адекватности.


image

Концептуальная модель принципиальная осно- ва построения экономико-математической модели. Это предварительное, приближенное представ- ление о рассматриваемом объекте или процессе.


image

Рабастость алгоритма высокая надежность полностью исключающая ситуацию, при которой становится невозможным получение искомых результатов или выполненные расчеты неточны.


§ 1.3. Из истории моделирования


image

Начало развития моделирования

Экономико-математическое моделирование получило свое развитие во многом благодаря работам известных отечественных и зарубежных ученых. Заметным событием в истории моделирования стала разработка первого в мире

баланса народного хозяйства СССР за 1923/24 год. Межотраслевой баланс народного хозяйства был построен Центральным статисти- ческим управлением СССР под руководством П.И. Попова. Этот баланс народного хозяйства включал наряду со сводными показателя- ми воспроизводства (в материально-вещественном и стоимостном разрезах) также и таблицы межотраслевых потоков предметов труда и средств производства. Работа ЦСУ СССР на много лет


опередила зарубежные статистические исследования как по сводным балансовым таблицам (национальным счетам), так и по межотрасле- вым балансам.

Первый межотраслевой баланс США был построен в 1936 г. В.В. Леонтьевым проживавшим до конца 20-х годов в Советском Союзе и достаточно хорошо знакомым с работами ЦСУ СССР. На западе его работы приобрели очень широкое признание. Известны его заслуги по популяризации идей межотраслевого баланса и организа- ции работ по разработке межотраслевых балансов во многих странах мира. Предложенный В.В. Леонтьевым метод построения модели межотраслевого баланса и распределения продукции США известен в литературе под названием метода анализа экономики “затраты- выпуск”. В.В. Леонтьев использовал также идею “технологических коэффициентов”, независимых от объема выпуска продукции.

Первая постановка задачи линейного программирования в виде предложения, по составлению оптимального плана перевозок, позво- ляющего минимизировать суммарный километраж, дана в работе советского экономиста А.Н. Толстого в 1930 г.

В 1931 г. венгерский математик Б. Эгервари рассмотрел матема- тическую постановку решения задачи линейного программирования имеющую название “проблема выбора”, метод решения получил название венгерского метода.

В 1938–1939 годах ленинградский математик Л.В. Канторович в ходе своей работы, занимался исследованием чисто практической задачи – выбора наилучшей производственной программы загрузки группы станков. В результате анализа ряда проблем организации и планирования производства был сформулирован новый класс оптими- зационных задач с ограничениями в виде неравенств и предложен общий метод их решения (метод разрешающих множителей). Он же совместно с М.К. Гавуриным в 1949 г. разработал метод потенциалов, который применяется для решения транспортных задач. В последую- щих работах Л.В. Канторовича и других математиков и экономистов получили развитие как математическая теория линейного и нелинейного программирования, так и приложения ее методов в исследовании различных экономических проблем. Это открыло новый этап в развитии экономико-математических методов моделирования. Однако долгое время эти методы почти не разрабатывались и в практику не внедрялись.



image

Новый этап

моделирования

Вторая мировая война потребовала значитель- ного напряжения усилий по консолидации знаний для успешного решения возникших задач. Именно к этому периоду развития моделирования следует отнести появление

термина “исследование операций” используемого при решении задач военного характера. В 1941 г. Г. Хичкок осуществляет постанов- ку транспортной задачи. Тем не менее, наиболее бурный расцвет и развитие новой науки относится уже к послевоенному периоду. В этот период получает логическую законченность и математическую стройность линейное программирование. Один из основных методов решения задач линейного программирования – симплексный метод – был предложен в 1949 г. Дж. Данцигом. Название “линейное программирование” впервые появилось в 1951 г. в работах Дж. Данцига и Т. Купманса. Слово “программирование” означает, что набор переменных, подлежащих нахождению, обычно определяет программу (план) работы конкретного экономического объекта. В начале 1952 г. задача линейного программирования была впервые решена с помощью вычислительной машины.

Дальнейшее развитие методы линейного и нелинейного програм- мирования получили в работах Л. Форда, Д. Фалкерсона, Г. Куна, К. Лемке, С. Гасса, А. Таккера, А. Чарнеса и других ученых. Возникает ряд новых ветвей операционного программирования: стохастического, параметрического, целочисленного, блочного и динамического. Появляются новые ветви и направления теории иссле- дования операций и систем: теория статистических решений, теория прогноза, теория поиска, теория расписаний, сетевой анализ и др. Наряду с этим разрабатываются теоретические и методологические основы исследования операций и систем, общие для всех много- численных ветвей и направлений. Это совершенствование и рост новой отрасли знаний сопровождался одновременным расширением сферы приложений ее методов в самых различных областях общественной практики. Если первоначально областями приложения линейного программирования преимущественно служили военное дело и некоторые специальные отрасли техники, то теперь объектами моделирования являются уже производство, строительство, транспорт, сельское хозяйство и т.д.

На этом этапе, было построено большое количество экономико-



математических моделей, на основе которых проделаны расчеты по составлению реальных оптимизационных планов (оптимальные планы перевозок, эксплуатации подвижного состава транспорта, использования топлива, загрузки оборудования предприятий, оптимального размещения предприятий и отраслей промышленности, инвестиций в производство и т.д.), что принесло большие выгоды народному хозяйству.

Одновременно с развитием линейного программирования большое внимание уделялось задачам нелинейного программирова- ния, в которых либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое нелинейны. В 1951 г. была опубликована работа Г. Куна и А. Таккера, в которой приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для решения нелинейных задач. Эта работа послужила основой для последующих исследований в области не- линейного программирования. В 1954 г. А. Чарнес и К. Лемке рассмотрели приближенный метод решения задачи с сепарабельными выпуклыми функциями цели и линейными ограничениями. Начиная с 1955 г. опубликовано много работ, посвященных квадратическому программированию. К этим работам, в первую очередь следует отнести работы Е. Била, М. Франка, Х. Марковича, Р. Нельсона.

В некоторых задачах линейного и нелинейного программирования экономический процесс протекает на протяжении ряда периодов (этапов). При решении таких задач необходимо учитывать поэтапное развитие процесса. Примером этого, могут служить задачи рас- пределения лимитированных ресурсов между предприятиями по годам планируемого периода. Динамическое программирование получило широкое развитие в пятидесятые годы. Большой вклад в решение этих задач внес американский математик Р. Белман. Дальнейшее развитие динамическое программирование получило в трудах зарубежных ученых Д. Гавера, К. Дермана, С. Дрейфуса, Д. Робертса, Р. Ховарда и др. В настоящее время оно в основном развивается в направлении приложений к различного ряда много- этапным процессам.

В начале 60-х годов энтузиасты надеялись буквально за считанные годы математизировать весь процесс планирования и управления народным хозяйством. В действительности все оказалось намного сложнее. Использование экономико-математического моделирования в практике планирования и управления требовало


больших организационных усилий и часто не приводило к ожидаемым результатам. В этот период стали все более глубже осознаваться реальные возможности моделирования в условиях реализации этих возможностей.


image

Современный этап моделирования

Современный этап развития экономико- математических методов начался с середины 70-х годов. В эти годы осуществился переход от использования математических моделей для решения отдельных экономических задач, к их

системному применению в автоматизированных системах планирова- ния и управления. Этот переход требовал решения двух основных проблем: объединения отдельных моделей экономических процессов и явлений в системы (комплексы) моделей; непосредственного включения моделей в процесс планирования и управления, создания новых планово-управленческих технологий, базирующихся на системном использовании математических методов и средств вычислительной техники. Важным шагом в решении этих проблем стала разработка автоматизированной системы плановых расчетов (АСПР) в Госплане СССР.

Значительные успехи были достигнуты в области моделирования отраслевого производства. Это во многом стало возможным вследствие перехода от решения простейших задач транспортировки продукции к решению задач размещения производства одно- продуктовых отраслей, а затем – к многопродуктовым моделям, в которых комплексно рассматривалась оптимизация развития, размещения, специализации, кооперирования и транспортировки. Дальнейшим шагом в развитии экономико-математического модели- рования стало создание моделей многоуровневых отраслевых систем и многоотраслевых комплексов.

В это время получило развитие моделирование территориальных систем. Были разработаны межрегиональные межотраслевые модели. Разработана группа моделей внутрирегионального развития: модели территориально-производственных комплексов и их сочетаний, промышленных узлов, систем расселения и т.д. Такие модели использовались для предпланового научного обоснования, при построении генеральных схем размещения производительных сил и схем районных планировок.


Значительные успехи были достигнуты в разработке моделей планирования и управления предприятиями. Это, прежде всего, касается моделей оптимального использования производственных мощностей (оборудования), оперативного, календарного плани- рования, выбора технологических способов, оптимизации состава смесей и рационального раскроя, управления запасами, технико- экономической подготовки производства и т.д. Эти модели впоследствии составили основу автоматизированных систем управления предприятиями (АСУП).

Наряду с расширением сферы применения математических методов в экономике и планировании совершенствовался процесс построения моделей, что нашло свое выражение в переходе от статических к динамическим моделям. Наиболее отчетливо это проявилось в переходе от жестко детермированных моделей к учитывающим стохастику и неопределенность экономических процессов, применении методов нелинейного и целочисленного программирования, методов статистического моделирования, создании новых алгоритмов, позволяющих решать задачи большой размерности, и т. д.

Интерес к экономико-математическому моделированию во всем мире неизменно возрастает. Применение методов моделирования стало в настоящее время неотъемлемой составляющей большинства экономических исследований. В 1975 г. Л.В. Канторовичу совместно с американским ученым Т. Купмансом за исследования по оптимальному использованию ресурсов была присуждена Нобелевская премия.

Весной 1979 г. советским математиком Л.Г. Хачияном был предложен метод “эллипсоидов”, как метод решения задач линейного программирования. Этот метод, совершенно отличается от большинства известных ранее методов, так как полностью игнорирует комбинаторную природу реализуемого алгоритма. В отличии от симплекс-метода, он гарантирует получение оптимального решения за определенное число шагов. Метод Л.Г. Хачияна, если его сформу- лировать в математических терминах, использует уравнения для порождения воображаемых эллипсоидов, содержащих ответ внутри себя, тогда как в симплекс-методе ответ представляется пересечения- ми граней многогранников. Чем меньше становятся эллипсоиды, тем более точный ответ имеется в вашем распоряжении.


Реальная оценка современного состояния и возможностей развития экономико-математического моделирования – необходимое условие для успешного решения задач совершенствования организации и управления промышленного производства.


Краткое повторение


image 1924 г. в ЦСУ СССР под руководством П.И. Попова разработан первый в мире меж- отраслевой баланс народного хозяйства.


image 1931 г. венгерский математик Б. Эгервари рас- смотрел математическую постановку решения задачи линейного программирования имеющую название “проблема выбора”, метод решения получил название венгерского метода.


image 1939 г. ленинградский математик Л.В. Канто- рович осуществил первую постановку оптимиза- ционной задачи. Предложенный им метод получил название “метод разрешающих множителей”.


image 1949 г. Л.В. Канторович и М.К. Гавурин разра- ботали метод потенциалов применяемый для решения транспортных задач.


image 1949 г. американский математик Дж. Данциг предложил основной метод решения задач линейного программирования, получившего название “симплексного метода”.


image 1952 г. задача линейного программирования впервые решена с помощью электронной вы- числительной машины.


image 1979 г. советский математик Л.Г. Хачиян пред- ложил метод “эллипсоидов” для решения задач линейного программирования.



ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ


абстрактная модель абстрактная форма абстракция адекватность аналогия

валидация верификация внешнее дополнение гипотеза

затраты-выпуск имитационная модель интерпретация исследования операций


конструктивный компромисс концептуальная модель математическая модель

метод разрешающих множителей метод эллипсоидов моделирование

модель

модельная конструкция модельный эксперимент рабастость алгоритма симплексный метод эвристическая модель


Контрольные вопросы и задания

?


  1. Для чего следует изучать моделирование?

  2. Что такое модель?

  3. Что является предметом моделирования?

  4. Что представляет собой метод моделирования?

  5. В чем состоит основная задача курса?

  6. Что такое цикличность процесса моделирования?

  7. Что представляет собой концептуальная модель?

  8. В чем состоит сложность построения модели?

  9. Что предполагает выбор численного метода?

  10. В чем состоит цель экспериментальных расчетов?

  11. Что предполагает анализ полученных результатов?

  12. Что послужило началом в истории развития экономико-математического моделирования?

  13. Начало современного этапа моделирования?

  14. Особенности современного этапа моделирования?

В этой главе будут рассмотрены основ- ные виды моделей и признаки их клас- сификации. Представлены методы решения оптимизационных и неоптими- зационных задач. Рассмотрены типы решаемых производственных задач, которые наиболее часто используются в практике моделирования.

Г л а в а

2

КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

И ТИПЫ ЗАДАЧ


§ 2.1. Классификация моделей


image

Признаки классификации моделей

Развитие экономико-математического модели- рования привело к созданию большого числа математических моделей, для решения самых различных экономических, организационных и технологических задач промышленного

производства. Классификация моделей, как и любая другая классифи- кация (явлений, событий, объектов и т.д.), может быть произведена по одному из признаков (табл. 2.1). При любом исследовании в качестве основного признака выбирается наиболее существенный для этого исследования.

Классифицируя экономико-математические модели, следует помнить о различии подходов к построению моделей и методов их решения. Применение того или иного подхода к построению модели неизменно определяется сущностью постановки задачи, а решение задачи – совокупностью математических методов, исполь- зуемых для получения численного решения. В этом их различие. Взаимосвязь между ними обусловлена тем, что решение экономической задачи или проведение исследования с помощью экономико-математических методов всегда начинается с построения математической модели. Для практической реализации экономико-


математической модели задачи, адекватно описывающей ту или иную экономическую проблему и получения численного резуль- тата, используется один из применяемых математических методов.


Таблица 2.1

Классификация экономико-математических моделей


Признаки классификации

Виды моделей

В соответствии с целевым назначением

Теоретико-аналитические

Прикладные

По способу отражения внут- ренних и внешних сторон

Функциональные

Структурные

По описанию и объяснению действительности

Дескриптивные

Прескриптивные

По способу взаимодействия с внешней средой

Открытые

Закрытые

В соответствии с полнотой охвата

Макромодель

Микромодель

По отражению причинно- следственных связей

Детерминированные

Стохастические

По отражению временного фактора

Статические

Динамические

По характеру взаимосвязей Переменных

Линейные

Нелинейные

По учету территориального фактора

Пространственные

Точечные


Классификация экономико-математических моделей позволяет, с одной стороны, их упорядочить, систематизировать, а с другой, – более детально разобраться в самой сущности моделирования промышленного производства.


image

Теоретико- аналитические и прикладные модели

По целевому назначению модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследовании общих свойств и закономернос- тей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономи- ческих задач (модели экономического анализа,

прогнозирования, управления). Теоретико-аналитические модели, которые строятся в виде уравнений, характеризуют функциональные зависимости между величиной затрат и выпуска продукции.

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования различных сторон развития промышленного производства (в частности, межотраслевых, отраслевых и производ- ственных структур). При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели функционирования народного хозяйства в целом, отдельных его отраслей, регионов, производственных объединений и предприятий.


image

Функциональные и структурные модели

В соответствии с общепринятой классифика- цией экономико-математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные. Кроме того, они могут также включать некоторые промежуточные

(структурно-функциональные) формы. В исследованиях на макро- экономическом уровне чаще всего применяются структурные (и структурно-функциональные) модели, поскольку для планирования и управления народного хозяйства большое значение имеет изучение взаимосвязей отраслей производства. Структурные модели отражают структуру исследуемой системы, ее внутренние параметры, характе- ристики внешних возмущений. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей.

Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании. Примером могут служить производственные функции. Функциональные модели описывают поведение системы безотноси- тельно к ее внутренней структуре. При их изучении возникают гипотезы о причинах тех или иных реакций объекта на воздействие внешней среды и, таким образом, открывается путь к анализу его структуры и формированию структурных моделей.


image

Дескриптивные и прескриптивные модели

Некоторые математические модели являются дескриптивными, тогда как другие – прескриптивными. Дескриптивные модели служат для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения

объекта, в отличие от прескриптивных (нормативных) моделей, предназначенных для нахождения желательного (например, оптимального) состояния объекта. Построение прескриптивных моделей дает возможность выдвинуть ряд рекомендаций относи- тельно того, как желательно было бы действовать в идеализирован- ной ситуации. Дескриптивная модель описывает, как в действительности все происходило.


image

Открытые и закрытые модели

В зависимости от реализуемых модельных представлений относительно взаимодействия модели с внешней средой они могут быть открытые и закрытые. Открытой является модель, в которой учитывается взаимодействие

image

моделируемого объекта (процесса) с внешней средой. В закрытой модели, такие взаимосвязи не принимаются во внимание. Полностью открытых моделей не существует. Модель должна содержать хотя бы одну внутреннюю (эндогенную) переменную.


Эндогенные

переменные величины

изменение которых происходит внутри

модели. Числовые значения этих величин являются выходными параметрами.


Целиком закрытые модели, которые не включают внешних (экзогенных) переменных, встречаются крайне редко. Создание такого рода моделей, предполагает полное абстрагирование от возможного воздействия внешней среды, что связано с серьезным огрублением реальности. Экзогенные – входные параметры, которые рассчитываются вне модели и вводятся из вне.


image

Для экономико-математических моделей деление переменных на эндогенные и экзогенные в значительной степени условно и



Экзогенные

переменные величины

внешние по отношению к формализуемой

модели. Числовые значения этих величин являются входными параметрами.


определяется характером решаемых задач. В большинстве своем экономико-математические модели являются чем то средним, и занимают промежуточное положение, различаясь по степени открытости (закрытости).


image

Макро- и

микромодели

По степени полноты охвата экономико- математические модели делятся на макро- и микромодели. Макроэкономические модели представляют собой математическую формали- зацию экономики народного хозяйства как

единого целого. Основное назначение макромоделей заключается в анализе структуры и динамики народного хозяйства; прогнози- ровании тенденций его развития; определении эффективности государственного экономического регулирования; выборе наиболее эффективных вариантов развития экономики страны.

При макроподходе моделируемый объект (будь это народное хозяйство, отрасль, предприятие или отдельный участок) рассматривается, так сказать с наружи, как единое целое. Это означает, что внутренние связи, внутреннее устройство объекта игнорируется, а изучаются только входные и выходные связи, их взаимная зависимость. Четкого разграничения макро- и микромоделей пока нет. При этом, к первым относятся наиболее обобщенные глобальные модели. Что же касается моделей, в которых объектом исследования выступают отрасли народного хозяйства, корпорации, предприятия, то в зависимости от целей исследования их нередко относят как к макро, так и микромоделям.

Макроэкономические модели оперируют агрегированными,


как правило стоимостными показателями (например, национальный доход, валовые капиталовложения и др.).

image

Микроэкономические модели представляют собой модели локальных экономических образований или частных экономических


Макромодель модель,

отражающая


функционирование исследуемого объекта

как единого целого.


image

процессов – планирования и управления отдельным предприятием или объединений. Ими являются модели рационального использования сырья, замены оборудования, управления запасами, обслуживания


Микромодель модель,

отражающая


функционирование и структуру отдельных

элементов исследуемого объекта.


и т. д. В отличие от макромоделей микромодели характеризуются детализированными технико-экономическими показателями, значительным числом и важной ролью экзогенных переменных.


image

Детерминированные и стохастические модели

По характеру отображения причинно- следственных связей модели могут подразделяться на детерминированные и стохастические. В детерминиро- ванной модели вероятностные элементы

отсутствуют, количество ее выходов однозначно определено множеством входов, а сама модель может быть представлена как некоторая функция неслучайных переменных. Эти модели, целиком относятся только к абстрактным математическим модельным


построениям, так как в реальной действительности всегда находится место для различного рода случайности. Детерминированные модели являются частным случаем стохастических моделей, в которых вероятность получения каждого из возможных результатов 0 или 1.


Детерминированная модель аналитическое представление закономерности, операции и т. п., при которых для данной совокупности выходных значений на выходе модели может быть получен единственный результат.


Выбор детерминированной или стохастической модели зависит от того, какая роль в построении модели отводится случайным факторам. Вероятностные модели характеризуются


Стохастическая модель модель, в которой параметры, условия функционирования и харак- теристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами.


тем, что либо в отдельности, либо одновременно параметры, условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта являются случайными величинами и связаны между собой случайными зависимостями. Характер этих состояний в модели определяется не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. При этом реалистичнее, чем при детерминированном подходе, отражаются моделируемые экономические процессы, которые имеют вероятностный (стохастический) характер.


image

Статические и динамические модели

По способам учета фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному


моменту или периоду времени (например, году). Динамические модели характеризуют изменения экономического процесса во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различают модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (1015 лет и более) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменятся либо непрерывно, либо дискретно (например, с шагом в один год). Примером статических моделей могут служить линейные модели распределения ресурсов, динамических моделей – модели развития производства.


image

Линейные и нелинейные модели

Линейной является модель, отображающая такое состояние или функционирование моде- лируемой системы, когда взаимозависимости в ней принимаются линейными. Соответственно, она может формулироваться в виде одного линейного уравнения или системы линейных

уравнений. Причем в ряде случаев нелинейность взаимозависимостей может приводиться к линейной форме путем математических преобразований переменных. В отличие от этого, нелинейная модель, отображает состояние системы или функционирование системы, таким образом, что все или некоторые взаимосвязи в ней принимаются нелинейными, т. е. не удовлетворяющими условия линейности.


image

Пространственные и точечные

модели

В зависимости от того, учитывает модель пространственные (территориальные) фак- торы и условия или не учитывает, различают модели пространственные и точечные. Таким образом, общая

классификация экономико-математических моделей включает девять основных признаков. С развитием экономико-математического моделирования проблема классификации моделей все более усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.


Краткое повторение


image Функциональная модель модель, описываю- щая поведение моделируемого объекта без- относительно к ее внутренней структуре (в отличие от структурной модели отражающей взаимосвязи и соотношения отдельных частей).


image Открытая модель модель, в которой учиты- вается взаимодействие моделируемого объекта с окружающей средой (в отличие от закрытой модели, где такие связи во внимание не берутся).


image Макромодель экономико-математическая мо- дель, отражающая функционирование народно- го хозяйства как единого целого (в отличие от микромодели, рассматривающей его из внутри).


image Динамическая модель модель, описывающая экономику в развитии (в отличие от статичес- кой модели, характеризующей ее состояние в определенный момент времени).


§ 2.2. Методы решения задач


image

Методы линейного

программирования

Большое значение для корректного решения задач экономико-математического моделирования имеет правильность выбора численного метода. Все задачи экономико- математического моделирования в зависи-

мости от наличия целевой функции можно условно разделить на две большие группы: оптимизационные и неоптимизационные (рис. 2.1).


image

Экономико-математические задачи


Оптимизационные Неоптимизационные


М е т о д ы р е ш е н и я


Методы линейного

программирования

Матричный метод

Методы анализа временных

рядов


Методы дискретного

программирования

Статистическое моделирование


Методы параметрического программирования

Корреляционный и регрессионный

анализ



Методы динамического программирования

Кластерный анализ


Рис. 2.1. Классификация методов решения задач


К числу оптимизационных относятся задачи для решения которых, используются методы линейного программирования. По способу достижения оптимального плана методы линейного программирова- ния, в свою очередь, делятся на методы последовательного улучшения плана и методы приближения условно-оптимального плана.

При использовании методов последовательного улучшения плана процесс достижения оптимального решения состоит из ряда повторяющихся этапов (итераций), на каждом из которых строится допустимое базисное решение. В случае не оптимальности полученного решения строится новое допустимое базисное решение, лучше предыдущего. К этой группе можно отнести метод потенциалов, распределительный метод для решения транспортных задач и метод разложения для решения задач большой размерности.

Методы приближения условно-оптимальными планами также являются итерационными, но основаны они на иных принципах. Основное отличие от предыдущей группы методов состоит в том, что сначала строится план, соответствующий критерию оптимальности, но не являющийся допустимым. Затем постепенно этот план вводится в допустимые границы. К этой группе следует отнести метод разрешающих множителей, симплекс-метод, а также метод решения транспортной задачи, венгерский метод и др.


image

Методы дискретного программирования

К задачам дискретного программирова- ния относятся задачи, переменные и параметры которых являются дискрет- ными величинами. Среди численных методов их решения выделяются три

группы методов, отличающихся по своим подходам к решению проблемы: отсечения, комбинирования и приближения. Идея метода отсечения заключается в следующем. Задача в начале решается без учета целочисленности. Если в результате ее решения получен не целочисленный план, то к системе ограничений добавляется новое линейное ограничение, которое, как бы отсекая полученный оптимальный, но не целочисленный план, заведомо удовлетворяет любому целочисленному плану. В случае необходимости добавляется еще одно ограничение и т. д.

Следующей большой группой методов дискретного программиро- вания являются комбинаторные методы, которые связаны с перебором


возможных вариантов решения задачи. Главная идея комбинаторного метода заключается в замене полного перебора планов частичным. Комбинаторные методы характеризуются определенным способом перебора, позволяющим исключить заведомо неоптимальные варианты плана без предварительного их рассмотрения. Центральное место среди комбинаторных методов занимают методы, объединенные под названием “метод ветвей и границ”.

Приближенные методы дискретного программирования можно разбить на две группы. Первая из них связана с использованием идеи случайного поиска: отправляясь от некоторой допустимой точки, найденной, каким-либо способом, делают шаг в случайном направлении, при этом следят, что бы не выйти из области определения задачи. В зависимости от того, лучше или хуже стало значение целевой функции в результате такого шага, возвращаются в исходную точку или делают новый случайный шаг.

Известен подход к решению дискретных задач, основанный на сочетании случайного поиска с локальной оптимизацией. Идея этого метода состоит в том, что производится случайный выбор некоторого плана, а затем оптимизация решения в его окрестности. Процесс повторяется многократно, и из множества локальных оптимумов выбирается наилучший с точки зрения целевой функции.

Приближенные методы другой группы являются детермини- рованными. Они основаны на разработке эвристических приемов, использующих специфику конкретной задачи.


image

Методы параметрического программирования

Методы параметрического программи- рования это методы решения оптимиза- ционных задач, коэффициенты целевых функций которых или числовые характе- ристики ограничений, или те и другие, не

постоянные величины, а функции зависящие от ряда параметров. Из числа задач параметрического программирования можно выделить задачи, в которых коэффициенты линейных форм зависят от одного параметра; задачи, в которых составляющие вектора ограничений линейно зависят от одного параметра; задачи, являющиеся обобще- нием первых двух групп; задачи, в которых параметр содержится во всех элементах расширенной матрицы условий, причем зависимость от параметра может определяться любыми аналитическими функция-


ми. Методы решения задач параметрического программирования для первой группы аналогичны методам последовательного улучшения плана с особым правилом выбора вектора, подлежащего введению в базис, и специальными признаками окончания процесса решения.

Для второй группы задач вычислительный процесс параметричес- кого программирования представляет собой процесс решения задачи методом приближения условно-оптимальными планами с особым правилом выбора вектора, исключаемого из базиса, и специальными признаками окончания решения задачи.

Анализ общей задачи линейного параметрического програм- мирования сводится к серии последовательно проводимых шагов с помощью методов последовательного улучшения плана и приближения условно-оптимальными планами.


image

Методы динамического программирования

Основной особенностью метода является деление планируемой операции на ряд последовательных шагов или этапов. Процесс решения при этом, становится многошаговым, причем каждый раз

целевая функция оптимизируется только на одном шаге.

К численным методам, помогающим реализовать модели динамического программирования, следует также отнести метод приближения в пространстве функций, метод приближения в пространстве стратегий, метод полиномиальной аппроксимации, дифференциальной аппроксимации и др.

Математическая оптимизационная задача строится в динамичес- ком программировании с помощью таких соотношений, которые последовательно связаны между собой: например, полученный результат для одного года вводится в уравнение для следующего (или, наоборот, для предыдущего) и т.д.

Методы динамического программирования применяются не только для задач, связанных с течением времени. Многошаговым может быть и процесс решения вполне “статической” задачи. Таковы, например, некоторые задачи распределения ресурсов.

Общим для методов динамического программирования является то, что для решения строится такая вычислительная схема, когда вместо одной задачи со многими переменными строится много задач с



меньшим числом (обычно даже одной) переменной в каждой. Это позволяет в целом значительно сократить объем вычислений. Однако такое преимущество достигается лишь при двух условиях: когда критерий оптимальности аддитивен, т. е. общее оптимальное решение является суммой оптимальных решений каждого шага, и когда будущие результаты не зависят от предыстории того состояния системы, при котором принимается решение.


image

Матричный метод

В числе основных методов решения не оптимизационных задач матричный метод неизменно занимает одно из важнейших мест. Применение матричного метода ставит своей целью решение задач

межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве, производства и распределения продукции регионов, сбалансированности производственных планов предприятий. Название “матричный” этот метод получили из-за того, что основу его составляет математический аппарат матричной алгебры. Используется главным образом в тех случаях, когда объектом исследования являются балансовые соотношения – при изучении затрат и результатов производства. Матричный метод применяется при решении задач межотраслевого баланса, а так же решения отраслевых задач оптимального планирования развития и размещения производства, в эколого-экономическом моделировании. Несмотря на специфику матричных моделей различных уровней иерархии их объединяет, во-первых, общий формальный принцип построения и единство системы расчетов и, во-вторых, идентичность важнейших экономических характеристик – коэффициентов прямых и

полных затрат.


image

Методы анализа временных рядов

Анализ временных рядов – важная область исследования динамики изменения экономических показателей. Они делятся на моментальные ряды (данные которых характеризуют величину явления по

состоянию на определенные даты) и интервальные ряды (характери-

зующие определенные периоды). Кроме того, что очень важно, они


могут характеризовать эволюторные процессы содержащие тренд, и стационарные процессы, не содержащие тренда.

Основное понятие анализа временного (динамического) ряда: тренд, или длительная, “вековая” тенденция; лаг, или запаздывание одного явления от другого, связанного с ним; периодические колебания (сезонные, циклические и др.). Для выявления тенденции, лагов, колебаний и анализа временного ряда применяется ряд мето- дов. Среди них экстраполяция – продолжение ряда на будущее по выявленной закономерности его развития, выравнивание временного ряда для устранения случайных отклонений, анализ автокорреляции, спектральный анализ.

При анализе временных рядов автокорреляционная функция характеризует внутреннюю зависимость между временным рядом и тем же рядом, но сдвинутым на некоторый промежуток (сдвиг) времени. Поскольку большое распространение в экономических исследованиях имеют модели с лагом, равным одному году, то в автокорреляцию еще определяют как корреляционную зависимость между соседними значениями уровней временного ряда.

Спектральный анализ является одним из методов анализа времен- ного ряда, при котором ряд рассматривается как сложная совокуп- ность, смесь гармонических колебаний, накладываемых друг на друга. При этом основное внимание уделяется частоте колебаний; использу- ется в частности аппарат тригонометрических функций, разложения рядов, анализ автокорреляций. Спектральный анализ применяется при изучении колебаний деловой активности, корректировки сезонных колебаний для более наглядного представления трендов.


image

Статистическое моделирование

Статистическое моделирование – один из наиболее общих и универсальных методов исследования реальных процессов (в том числе и экономических), протекающих в обстановке воздействия случайных воз-

мущений и колебаний значений основных параметров и характеристик. Статистическое моделирование (метод Монте- Карло, или метод статистических испытаний) используется в тех случаях, когда аналитические методы в условиях сложных взаимосвязей факторов и множества определяющих параметров оказываются бессильными.


Статистическое моделирование представляет собой метод компьютерной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на компьютере со всеми сопровождающими его случайностями. Используется главным образом, при решении задач исследования операций, в анализе производственной деятельности.


image

Корреляционный и регрессионный анализ

Корреляционным называется такой метод статистического анализа, при котором результаты наблюдений рассматриваются как случайные величины выбранные из совокупности, распределенной по

нормальному закону. Применение корреляционного анализа в практике моделирования дает возможность проверить наличие связи между двумя явлениями или между отдельными явлениями и группой явлений и оценить ее степень, а также проверить гипотезу относительно формы связи.

Корреляционный анализ возможен, если результаты отдельных наблюдений стохастически независимы; результаты наблюдений являются выборкой из генеральной совокупности подчиненной закону нормального распределения.

Связь между случайными и неслучайными величинами называется регрессионной, а метод анализа зависимостей случайной величины от неслучайного аргумента – регрессионным анализом.

Главным направлением корреляционного и регрессионного методов анализа в экономических исследованиях является моделиро- вание зависимостей между такими показателями производственных функций, как прибыль, объем выпуска продукции, себестоимость единицы изделия, капитальные затраты, производительность труда, фондоотдача и др.


image

Кластерный анализ

Кластерный анализ является одним из основных методов систематизации и обработки многомерных статистических данных, направленных на выявление характера и структуры взаимосвязей

между отдельными компонентами рассматриваемого многомерного признака, что делает его незаменимым инструментом экономических исследований.


Кластерный анализ позволяет разбивать исследуемую совокуп- ность элементов (координаты которых известны) таким образом, чтобы элементы одного класса находились на небольшом расстоянии друг от друга, в то время как разные классы были бы на достаточном удалении друг от друга и не разбивались на столь же взаимо- удаленные части.


Краткое повторение


image Методы дискретного программирования – методы решения задач, искомые переменные которых цело- численные величины, а область допустимых значе- ний конечна.


image Методы параметрического программирования методы решения оптимизационных задач, коэффи- циенты целевых функций которых или числовые характеристики ограничений, или и те и другие, не постоянные величины, а функции зависящие от ряда параметров.


image Матричный метод метод исследования взаимо- связей между отдельными экономическими объекта- ми с помощью матричных моделей. Основывается на математической теории матриц.


image Статистическое моделирование метод компью- терной имитации изучаемого процесса, который копирует на компьютере моделируемый процесс с всякого рода различными случайностями, которые его сопровождают.


§ 2.3. Типы производственных задач


image

Задачи распределения ресурсов

Задачи распределения ресурсов – один из наиболее важных типов решаемых производст- венных задач. Их можно условно разделить на три основные группы. Задачи первой группы характеризуются следующими формализуемыми

условиями. Существует ряд работ (объектов), для выполнения (обеспечения) которых можно привлекать различные материальные ресурсы. Каждый их вид имеется в ограниченном количестве, но всех ресурсов достаточно для выполнения работ. Нужно их так распределить, чтобы достигнуть максимума общей эффективности. Если ресурсов достаточно, чтобы каждую работу выполнить наиболее эффективно, задача не возникает. В простейшем случае для выполнения работ может быть использован один ресурс. Причем число работ и ресурсов одинаковое. Задача сводится к такому распределению ресурсов по работам (объектам), при котором достигается наибольший эффект (например, максимум прибыли или минимум затрат). Такие задачи называют задачами о назначении. Они усложняются, если для выполнения некоторых работ требуется более одного вида ресурсов или если один и тот же ресурс может пойти для выполнения нескольких работ.

Вторая группа задач связана с распределением ограниченных ресурсов, которых не хватает для выполнения всех наличных работ. В связи с этим от выполнения части работ приходится отказаться. Могут быть использованы следующие подходы: заявки на ограни- ченные ресурсы урезаются пропорционально величине заявленной потребности; ограниченные ресурсы распределяются путем последовательного удовлетворения различных направлений в порядке убывания приоритета, формируемого экспертами; продукция распределяется с учетом потерь от дефицитности. В последнем случае строится функция дефицитности, выражающая потери, которые возникают вследствие недопоставки продукции.

В задачах третьей группы имеется некоторая возможность для регулирования состава ресурсов.


Задачи распределения ресурсов могут решатся в статической (однократной) и динамической постановке. В последнем случае часто применяют методы стохастического программирования (в которых принятие решения основано на вероятностных оценках будущих значений параметров).


image

Задачи управления запасами

Методы оптимального планирования применяют- ся и при решении разного рода задач связанных со снабжением сырьем и материалами промыш- ленных предприятий, сбытом готовой продукции, оптимальным управлением запасами. Наиболее

разработанными в настоящее время являются задачи оптимального управления поступающими ресурсами и их потреблением. Однако на практике возникает необходимость решения задач управления не только запасами ресурсов, но и готовой продукции в их взаимосвязи. Производственные запасы – это сырье, материалы, полу- фабрикаты и топливо, находящиеся в распоряжении предприятия, но еще не вступившие в процесс производства. Их наличие является

необходимым условием любого промышленного производства.

Задачи управления запасами возникают тогда, когда имеются два вида издержек: возрастающих с ростом запасов и убывающих с их ростом. Первые обусловлены расходами на хранение запасов и иммобилизацией средств в запасах. Вторые издержками производ- ства связанными с простоем оборудования. При увеличении запасов убывают потери, вызванные простоем оборудования вследствие дефи- цита сырья. Уменьшаются расходы на выполнение подготовительно- заключительных операций. Сокращаются издержки производства, так как крупносерийное или поточно-массовое производство более эффективно, чем мелкосерийное или индивидуальное.

Главная задача управления запасами заключается в миними- зации убытков, связанных с их хранением, затратами на содержание запасов, выполнение складских операций, потери от порчи при хранении и морального старения, потерь от дефицита сырья и материалов из-за недостатков запасов и их организации. В результате решения задачи получают ответ относительно оптимальных размеров заказываемой партии, величины уровня запасов, выбора мест раз- мещения заказов и др.

Задача управления запасами может быть как статической


(когда принимается разовое решение об уровне запаса на определен- ный период) так и динамической, или многошаговой (когда принимаются последовательные решения или корректируется ранее принятое решение с учетом происходящих изменений).


image

Задачи массового обслуживания

Задачи массового обслуживания получили в последнее время очень широкое распространение. Появление этих задач вызвано потребностью практики в анализе процессов, приводящих к скоплению, задержкам в обслуживании и

очередям. Они занимаются анализом образования очередей. Примерами решения такого рода задач может служить улучшение работы ремонтных служб промышленных предприятий, сферы обслуживания, телефонных станций.

Под требованием на обслуживание в такого типа задачах, понимается необходимость в обслуживании, исходящего от какого- либо объекта, а также сам объект вне зависимости от того, что он собой представляет; под очередью – любое скопление объектов, ожидающих обслуживания. Технические средства или производствен- ный персонал, выполняющие функции обслуживания, называются каналами обслуживания. Все, что становится в очередь и подвергается операции обслуживания независимо от природы, носит название “клиента”. Порядок, в соответствии с которым клиенты покидают очередь, поступая в обслуживание, именуют “дисциплиной очереди”. Совокупность, в которой последовательно связаны между собой поток требований на обслуживание, очередей и каналов обслуживания, представляет собой задачу массового обслуживания. Цель задач теории массового обслуживания – анализ процесса образования очередей, взаимосвязей между их основными

характеристиками и выявление наилучших путей управления ими.

В системах массового обслуживания почти всегда имеются ожидающие клиенты или простаивающие каналы. Этим факторам соответствуют определенные затраты, к числу которых относятся издержки, связанные с потерей клиентов с одной стороны и простоем оборудования с другой. Таким образом, задача сводится к минимизации всех видов издержек. Анализ полезно проводить до проектирования систем массового обслуживания, чтобы выбрать ее оптимальную структуру.



image

Задачи упорядочения и согласования

В задачах такого типа принимается, что порядок выбора клиентов задан заранее. Содержанием задачи упорядочения и согласования будет выбор дисциплины очереди с таким расчетом, чтобы некоторый принятый критерий функцио-

нирования системы достиг экстремального значения. Таким критерием может быть время обслуживания, издержки, связанные с переналадкой оборудования, и др. С экономической точки зрения определенный интерес представляют задачи сетевого планирования и теории расписаний. Порядок следования операций у них известен заранее и определяется ходом выполнения работ. Он зафиксирован в виде сетевого графика, но моменты начала операций и сроки их вы- полнения заранее могут быть и не фиксированными. Суть состоит в выборе моментов начала операций и сроков их выполнения так, чтобы минимизировать общие затраты по реализации комплекса операций. Методы сетевого планирования дают возможность выявлять потреб- ность в ресурсах при заданных сроках выполнения работ. На практике далеко не для всех операций можно заранее установить строгую последовательность их выполнения. Кроме того, существуют технологии, для которых не требуется дополнительная переналадка оборудования. Порядок выполнения операций иногда может дикто- ваться заказчиком или устанавливаться экспериментальным путем.

Раздел исследования операций, который изучает порядок их следования, называется теорией расписаний. Следует отметить, что существует различие между упорядочением и составлением расписания. Упорядочение подразумевает формирование очередности операций, выполняемых одной машиной, в то время как состав- ление расписания означает задание последовательности действий нескольким машинам.

Задачи упорядочения и согласования как бы противоположны задачам теории массового обслуживания, в которых дисциплина (т. е. порядок выполнения требований) задана. Выбор порядка обслужи- вания в этом случае называется упорядочением.

Для решения этих задач используется ряд методов линейного программирования, дискретного программирования, методы ветвей и границ, сетевого планирования управления. Последнее время особое развитие принимают приближенные методы решения, резко сокраща- ющие перебор вариантов, метод Монте-Карло.


image

Задача выбора маршрута

К задачам упорядочения тесно примыкают задачи выбора маршрута. При всем много- образии их можно разделить на два класса – на маршрутизацию мелких партий грузов и маршрутизацию по машинных отправок грузов.

В первом случае за рейс осуществляется мелкопартионная доставка грузов нескольким потребителям; во втором транспортное средство загружается полностью в адрес только одного потребителя.

Задача выбора маршрута наиболее близко примыкает к сетевым. Типичный ее пример – отыскание рационального маршрута для перевозок из одного пункта в другой при наличии различных маршрутов между ними. Стоимость проезда зависит от выбранного маршрута и может оцениваться временем в стоимостном выражении или расстоянием.

Сеть определяется как некоторое множество точек или узлов, связанных линиями, называемыми дугами или ребрами. Непрерывная последовательность ребер, связывается в один узел с другим, именуется маршрутом или путем. Сетевая модель способна отобразить с любой степенью детализации состав и взаимосвязи работ во времени. Выбор маршрута заключается в отыскании такого пути, связывающего два и более узлов, который минимизирует (или максимизирует) некоторый критерий оптимальности, представля- ющий собой функцию (как правило сумму) известных характеристик ребер этой сети. На допустимые маршруты могут быть наложены ограничения: например запрет возвращения к уже пройденному узлу.

Типичным примером такой задачи является задача о коммивояжере. Коммивояжер (развозчик заказанной продукции), выехав из некоторого пункта, должен развести ее потребителям, побывав у каждого только по разу, и вернуться в исходный пункт за кратчайший срок. Маршрут при этом, должен быть наименьшим.

При маршрутизации по машинных отправок известен план перевозок в некоторой системе маршрутов. Задан состав подвижных транспортных средств. Нужно так сконструировать маршруты, чтобы выполнить план перевозок, минимизировав или максимизировав выбранный критерий оптимальности.

Задача о коммивояжере – одна из типичных задач, решаемых методом динамического программирования.



image

Задача замены оборудования

К задачам теории управления запасами по экономическому содержанию очень близки задачи теории восстановления (замены). Существует два основных типа задач. В первом речь идет о замене элементов, характеристики

которых ухудшаются в процессе их использования или с течением времени. Для решения некоторых из таких задач применимы методы динамического программирования. Во втором характеристики элементов не ухудшаются, но сами они полностью выходят из строя спустя некоторое время. В этих задачах широко используются математико-статистические методы, так как выход из строя оборудования всегда носит нерегулярный, вероятностный характер. Элементы с ухудшающимися характеристиками, как правило, представляют собой крупные и дорогие объекты, например технологическое оборудование, станки, складские постройки и т. д. Элементы с не ухудшающимися характеристиками обычно сохраняют достаточно высокую эффективность на протяжении всего срока службы, но внезапно полностью выходят из строя. Они относительно дешевы. К ним относятся электрические лампы, нагревательные элементы, подшипники, приводные ремни и т. д. Чтобы сохранить эффективность элементов первого типа, требуется их обслуживание и ремонт, что сопряжено с затратами. Если менять такие элементы часто, то возрастает объем капиталовложений.

Таким образом, задача замены оборудования сводится к установ- лению порядка и сроков замены, при которых эксплуатационные затраты и капиталовложения минимальны. Если элементы выходят из строя, то необходимо выяснить целесообразность (частоту) групповой или индивидуальной замены, чтобы свести ущерб от простоя оборудо- вания к минимуму.

Задачи замены по существу динамические. Они должны в той или иной степени иметь следующие свойства: могут учитываться или не учитываться изменение расходов на эксплуатацию, эффективность капиталовложений, изменение амортизационных отчислений и т. д.; потребности в технологическом оборудовании могут быть изменяющимися со временем или приближенно считаться постоянными; могут браться или не браться во внимание изменения связанные с технологическим прогрессом, внедрением нового оборудования и т. д.



image

Задача о раскрое

Задача о раскрое – частный случай задачи комплексного использования сырья, решаемой при помощи методов линейного программи- рования. Разработанный метод решения этой задачи позволяет с наименьшим количеством

получаемых отходов раскраивать прутки и листы металла, листы стекла, картона и рулонных материалов с учетом требуемого количества получаемых деталей различных размеров. Постановку задачи в наиболее общем виде можно сформулировать так: требуется найти минимум линейной формы, выражающей количество рас- ходуемых материалов (прутков, листов, рулонов и т.п.) при различных вариантах способов их раскроя j = 1, n :


n

x j min,

j 1


(2.1)


при условии, что переменная

x j удовлетворяет ограничению


n

aij x j ri ,

j 1

image

i 1, m.


(2.2)


Это означает, что соблюдается необходимое условие комплексности заготовок. Все необходимые заготовки, получены в достаточном ко-

личестве

ri ( aij – количество заготовок типа i при способе раскроя j,

x j – количество прутков, листов и рулонов материалов раскроенных способом j ). Выполняется условие неотрицательности переменных


image

x j 0 ,

j 1, n,

(2.3)


т.е. количество раскраиваемых прутков или листов не может быть отрицательным. Решение этой задачи дает возможность сократить количество отходов получаемых при раскрое заготовок до минимальной величены. Часто на предприятиях количество получен- ных отходов сокращается в несколько раз, что дает возможность значительно снизить себестоимость выпускаемой продукции.


Краткое повторение


image Задачи распределения ресурсов задачи выбора наилучшего варианта распределения лимитирова- ных ресурсов, при котором максимизируется вели- чина получаемой прибыли или минимизируются затраты.


image Задачи управления запасами задачи оптимиза- зации управления поступающими ресурсами, их хранения и потребления. Целью решения задачи является минимизация потерь от дефицита, затрат на складские операции, убытков порчи при хранении и морального старения.


image Задачи массового обслуживания задачи целью которых является анализ процесса образования очередей, взаимосвязей между их основными характеристиками и выявление наилучших путей управления ими.


image Задачи упорядочения и согласования задачи выбора дисциплины очереди в соответствии с не- которым выбранным критерием функционирования системы, стремящимся достичь экстремального значения. Таким критерием может быть время обслуживания, издержки, связанные с переналадкой оборудования, и др.


image Задача о раскрое задача рационального раскроя материалов (прутков, листов, рулонов). План рас- кроя этих материалов считается оптимальным, если он обеспечивает необходимый выход заготовок, при наименьшем количестве отходов.




ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ


анализ временных рядов дескриптивная модель детерминированная модель динамическая модель динамическое программирование дискретное программирование закрытая модель

кластерный анализ корреляционный анализ лаг

линейное программирование макромодель

массовое обслуживание матричный метод микромодель

открытая модель

параметрическое программирование


прескриптивная модель прикладная модель пространственная модель распределение ресурсов регрессионный анализ статистическое моделирование статическая модель стохастическая модель структурная модель

теоретико-аналитическая модель теория поиска

точечная модель тренд

управление запасами функциональная модель экзогенные переменные эндогенные переменные


Контрольные вопросы и задания

?

  1. Признаки классификации моделей.

  2. Основные классы моделей.

  3. Методы решения экономико-математических задач.

  4. Методы решения оптимизационных задач.

  5. Методы решения неоптимизационных задач.

  6. Методы линейного программирования.

  7. Методы дискретного программирования.

  8. Методы параметрического программирования.

  9. Методы динамического программирования.

  10. Матричный метод.

  11. Методы анализа временных рядов.

  12. Методы статистического моделирования.

  13. Методы корреляционно-регрессионного анализа.

  14. Кластерный анализ.

  15. Типы производственных задач.

  16. Задача о раскрое.

  17. Задачи выбора маршрута.

  18. Задачи замены оборудования и поиска.

  19. Задачи распределения ресурсов.

  20. Задачи массового обслуживания.

  21. Задачи упорядочения и согласования.

  22. Задачи управления запасами.


    image


    Часть II

    Методы и приемы экономико-математического моделирования


    image


    * Тема 3. Методы и приемы моделирования

    § 3.1. Методы построения моделей

    § 3.2. Метод структурного моделирования

    § 3.3. Декомпозиционный и композиционный подходы


    * Тема 4. Построение оптимизационных моделей

    § 4.1. Методы линейного моделирования

    § 4.2. Приемы линейного моделирования

    § 4.3. Построение блочной модели

    image

    В этой главе будут рассмотрены методы, которые наиболее часто используются в практике построения моделей. Показаны основные приемы моделирования, воз- можности структурирования моделей, межмодельного интерфейса парамет- ров, а также декомпозиционный и компо- зиционный подходы в моделировании.

    Г л а в а

    3

    МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ

    МОДЕЛИРОВАНИЯ


    § 3.1. Методы построения моделей


    image

    Метод

    “черного ящика”

    Промышленное производство как объект для моделирования характеризуется огромным количеством различных показателей и число- вых параметров, которые в зависимости от их значимости могут быть включены в модель.

    Скажем предприятие, как объект можно охарактеризовать его производственной мощностью, численностью занятых рабочих, место- положением, размерами производственных площадей, величиной и составом основных и оборотных фондов, количеством потребляемой воды, объемом и загрязнением стока, высотой заводской трубы, особенностями организации производства и управления и т. д. Для построения модели необходимо не просто указать наименование объекта, но и отразить наиболее важные взаимосвязи и показать отдельные элементы, т. е. определить границы взаимодействия с внешней средой, его структуру.

    Менеджера будут интересовать лишь отдельные характеристики работы предприятия, причем не всегда одни и те же в зависимости от стоящих перед ним задач. При решении задач оперативного управления очень важными являются мощность завода, запасы сырья, а производственные площади могут и не рассматриваться. Напротив,


    при разработке планов реконструкции предприятия наличие запасов сырья не имеет значения, а важными характеристиками становятся производственные площади, доля устаревшего оборудования, инфра- структура района, в котором расположен завод и т.п. Эколога, прежде всего, заинтересуют объемы сброса сточных вод, выбросы в атмосферу, состояние очистных сооружений, высота заводской трубы. Поэтому, когда каждый из них говорит о предприятии как объекте исследования то всегда явно или неявно имеет в виду определенные, принимаемые во внимание технико-экономические характеристики его работы, межпроизводственные связи. Однако в любом случае модель есть ни чем иным, как отражением объективной реальности. Сущность экономико-математического моделирования состоит в известном упрощении решаемой задачи. Модель промышленного производства не может отразить всех особенностей описываемой ею реальной действительности. Реальность предстает в модели не полностью, а лишь по основным характеристикам изучаемых явлений и связей. Многие (быть может, и достаточно существенные) моменты действительности порой не находят своего отражения в модели, в то время как другим уделяется особое внимание. В основе любой из моделей лежит ряд важнейших предположений, определяющих исходные принципы построения модели. Формулировка и последовательная реализация этих принципов при построении модели необходимы для правильного понимания результатов решения задачи.

    image

    Известным методом, который довольно широко используется в практике моделирования, является метод “черного ящика”.


    Метод “черного ящика” условное название метода моделирования, когда исследователю доступны лишь входные и выходные параметры рассматриваемого объекта, а его структура и процессы протекающие внутри неизвестны.


    Особенностью метода является то, что абстрактный образ объекта, исследуемый по средствам функциональной модели, предстает в виде черного ящика объекта, внутренняя структура которого не видна. Основная идея метода заключается в том, чтобы познать


    сущность изучаемого объекта через важнейшее проявление этой сущности функционирование. Для моделей промышленного производства, это означает возможность моделирования производст- венных процессов глубоко не вникая в технологические особенности переработки сырья, хранения и транспортировки готовой продукции. Основополагающим в реализации данного метода, является установление возможных входов и выходов, определение их взаимосвязей и интенсивностей моделируемых производственных процессов. При этом, мы имеем возможность для изучения моделируемого объекта, рассматривая возможные изменения на выходе соотносительно изменениям на входе. Статистический много- кратный учет таких изменений позволяет установить закономерные взаимозависимости между поведением входов и выходов, что дает возможность управления производственным процессом. Для процесса


    image

    X1 X2 X3

    . . .

    Xm

    Y1=F1(X1), Y2=F2(X2), Y3=F3(X3),

    . . .

    Yn=Fn(Xm).

    Y1 Y2 Y3

    . . .

    Yn


    Рис. 3.1. Схема входов и выходов “черного ящика


    производства продукции на предприятии входом служат поставки сырья, материалов, комплектующих изделий, оборудования, инвести- ции. Выходом является готовая продукция, а состоянием наличие финансовых средств, накопленные запасы средств производства, численность работающих. На рис. 3.1 показана схема моделируемого процесса производства с m входами и n выходами. Функциональная модель имитирует поведение объекта. Задавая входы Xm, можно получить значение выхода Yn. Построить функциональную модель при этом, означает не что иное, как отыскать функцию Yn=Fn(xm). Для моделей такого типа характерным является то, что процесс производства рассматривается в несколько обособленном виде. В действительности это наблюдается крайне редко, так как трудно себе


    представить производство, которое целиком изолировано от других производств. Но часто оказывается очень удобным пользоваться этой абстракцией, обрывая на некотором шаге внешние связи. Моделируемый производственный процесс, выступает носителем тех свойств, которые наиболее существенны для изучаемых функций исследуемого объекта. При этом всякий раз когда речь идет о конкретном объекте моделирования, он рассматривается как относительно обособленная часть системы, состоящей из конечного множества элементов носителей определенных свойств. Все, что лежит вне системы, рассматривается как внешняя среда, взаимодействующая с этой системой.

    Оценка работы промышленного предприятия по конечным результатам ее функционирования (по принципу “черного ящика”) неизбежно страдает неполнотой. Неявно предполагается, что по оценке полученных результатов можно однозначно судить о эффек- тивности внутренней организации производства. Даже если бы это было так (что еще требует доказательства), подобная оценка все же была бы неконструктивной: она не позволит вынести позитивные рекомендации о том, какие необходимо внести изменения в органи- зацию производства, чтобы повысить эффективность его работы.

    Производство продукции на современном этапе промышленного развития это результат совместного функционирования многих производственных комплексов, испытывающих на себе неодинаковое влияние окружающей обстановки и обладающих различной степенью инерционности. В этих условиях на основании количественных зависимостей между выходом и входом производственного процесса целиком реконструировать внутреннюю структуру организации, как правило, невозможно.


    image

    Метод

    “белого ящика”

    Эффективное функционирование современного производства обусловливает необходимость более тесного взаимодействия предприятий взаимосвязанных отраслей промышленности, отдельных цехов и участков. Характер и теснота

    этих связей во многом определяются техническими и организацион- ными уровнями развития производства. В отличие от разного рода технологических систем, для которых эти связи определены еще на стадии проектирования, и биологических систем, где они возникают


    естественным путем, производственные системы требуют их постоян- ного развития и совершенствования.

    image

    При исследовании внутренней структуры моделируемого объекта возникает вопрос: как выделить этот объект из множества других объектов? Как определить состав его элементов, их свойства и связи между ними и внешней средой? Что принять в качестве “первичного” элемента? На все эти вопросы, нет единых ответов. Они зависят от тех конкретных целей, которые ставит перед собой исследователь. Если в представленном ранее методе, объект моделирования представлял собой единое целое, что не допускало какой-либо воз- можности его разбиения на части, то метод “белого ящика” ставит


    Метод “белого ящика” условное название метода моделирования, когда исследователю известна внутренняя структура объекта и составляющие его элементы, на основе чего определяются количественные соотношения между его входами (выходами) и средой.


    своей задачей изучение внутренней структуры объекта, свойств составляющих его элементов, их взаимосвязей. Целью этого метода является установление количественных соотношений взаимодействия входов (выходов) исследуемого объекта со средой и функциональных зависимостей между отдельными элементами. В качестве первичного элемента, при этом берется объект, который выполняет определенные функции и не подлежит дальнейшему разбиению. Его связь с другими элементами и внешней средой, моделируется с помощью входов и выходов данного элемента. Будучи относительно обособленным, он по крайней мере, имеет один вход и выход. Отметим, что степень этого взаимодействия с другими элементами системы и внешней среды определяется на основе изучения характера взаимосвязей, установления возможного числа входов и выходов.

    Количественной мерой взаимодействия входа (выхода) со средой является его интенсивность, т.е. количество (поток) вещества, энергии или информации, протекающей через него в единицу времени. Так,


    интенсивность входов цеха - количество используемого сырья и материалов в единицу времени, а интенсивность выходов количество продукции выпускаемой за то же время. Не менее важную роль играет и внутреннее состояние элемента. С его помощью характеризуются существенные свойства реального объекта. Так, внутреннее состояние цеха как объекта моделирования характеризуется величиной произ- водственной мощности, численностью рабочих, средствами труда.


    image

    X1 X2 X3

    . . .

    Y1

    Y2

    Y3

    . . .

    Xm Yn



    Рис. 3.2. Структурная схема входов и выходов “белого ящика


    Взаимодействие реальных объектов друг с другом и внешней средой столь же разнообразны, как свойства самих объектов и среды. При исследовании структуры модели моделируемого объекта во внимание берутся лишь те связи, которые существенно влияют на его функционирование, остальными в случае необходимости пренебрегают. На рис. 3.2 представлена функциональная структура элементов “белого ящикас m входами и n выходами. Формирование связей отдельных элементов при этом, рассматривается как реали- зация определенных отношений. Эти отношения над множеством элементов и задают структуру объекта моделирования.

    При комплексном изучении моделируемых объектов, особенно общественных, оказывается необходимым исследовать не один, а несколько структурообразующих признаков, рассмотреть взаимосвязь различных свойств. Так, любое промышленное предприятие является одновременно технологической структурой, преобразующей исходные ресурсы в конечную продукцию, организационной структурой координирующей всю производственную деятельность, социальной структурой, в которой происходит развитие всего


    коллектива. Все эти стороны функционирования предприятия органически взаимосвязаны. Иными словами, при выделении какой- то одной из структур, задается не одно, а множество отношений между элементами и соответственно образуется не одна, а множество структур. Такого рода объекты характеризуются неоднородностью выделенных элементов и связей, структурным разнообразием.

    Рассматривая функциональные и структурные модели, следует помнить, что их противопоставление носит относительный характер. Изучение структурных моделей дает ценную информацию о по- ведении объекта в зависимости от меняющейся внутренней структуры и внешних условий. Исследование параметров процесса или режима функционирования рассматриваемого объекта показывает изменение состояния моделируемой системы. При изучении функциональных моделей возникают гипотезы о причинах тех или иных реакций исследуемого объекта на воздействие внешней среды. Это позволяет сделать ряд необходимых предположений относительно внутренней структуры исследуемого объекта, что открывает широкие возможности для структурного анализа.


    Краткое повторение

    image Метод “черного ящика” условное название метода экономико-математического моделирования, когда исследователю доступны лишь входные и выходные параметры рассматриваемого объекта, а его структура и процессы протекающие внутри неизвестны.


    image Метод “белого ящика” условное название метода моделирования, когда исследователю известна внутренняя структура объекта и составляющие его элементы, на основе чего определяются количественные соотношения между его входами (выходами) и внешней средой.


    § 3.2. Метод структурного моделирования


    image

    Построение структурированных моделей

    Одной из наиболее сложных проблем в практике построения экономико- математических моделей является структурирование решаемых задач. Значение структуризации экономики народного хозяйства для разработки

    системы моделей определяется тем, что выделение отраслевых подсистем в отдельные объекты означает необходимость построения соответствующих экономико-математических моделей и установления связей между ними. В ходе структуризации вся совокупность рассматриваемых объектов и процессов, имеющих отношение к исследуемой проблеме, разделяется на собственно изучаемую систему и внешнюю среду. Выделяются отдельные составные части как подсистемы и элементы изучаемой системы, а учитываемое внешнее воздействие представляется в виде совокупности элементарных воздействий. При этом любой объект исследований рассматривается не как одно неразделимое целое, а как система взаимосвязанных элементов. Например, предприятия отдельных отраслей промышлен- ности, рассматриваются как элементы системы и изучается их взаимосвязь.

    Структуризация модели предусматривает необходимость уточнения исследуемой проблемы и ее структурирование в серию задач, решаемых с помощью экономико-математических методов, нахождение критериев их решения, детализации целей, конструиро- вания эффективной организации. В этой связи различают три вида структурных моделей:



    Прикладные разработки структурированных моделей опираются в


    основном на существующую организационную структуру народного хозяйства. Вместе с тем из анализа всего народного хозяйства с позиций экономико-математического моделирования можно сделать предложения по совершенствованию существующей организационной структуры. Такие предложения преследуют цели более полной оптимизации структуры отдельных подсистем, более эффективного согласования отдельных локальных оптимумов с глобальным оптимумом народного хозяйства.

    При построении локальных оптимизационных задач вопросы определения ограничений и критериев оптимальности следует решать совместно. Нельзя корректно сформулировать ограничения, пригод- ные для любых критериев, так же нельзя корректно сформулировать критерий, одинаково приемлемый при различных ограничениях. Наиболее общим критерием для определения границ каждой из подсистем служит теснота связей составляющих ее элементов внутри данной подсистемы с элементами других подсистем.

    Многоуровневая система народного хозяйства включает как вертикальные, так и горизонтальные связи между различными иерархическими структурами. Различают одноуровневые и много- уровневые структуры. Экономические структуры являются много- уровневые. Им присуща полиструктурность, т. е. взаимное пере- плетение разнокачественных подсистем, они могут образовывать несколько взаимосвязанных между собой иерархических структур (производственно-технологических, организационно-управленческих, территориальных, социальных и др.). Выделение подсистемы как самостоятельного экономического объекта (и объекта моделирования) оправдано тем больше, чем сильнее ее внутренние связи и чем слабее связи внешние.


    image

    Межмодельный интерфейс параметров

    При разбиении народнохозяйственной системы на отдельные подсистемы для каждой из них необходимо разработать экономико-математическую модель или ряд связанных между собой моделей.

    Модель подсистемы включает описание внутренних условий функционирования (собственные ограничения, определяющие область допустимых планов), внешних связей (“входов” и “выходов”) и как правило, критерий оптимальности. Решения получаемые изолировано


    для отдельных подсистем, как правило, не совместимы. Это выражается в несоответствии входов и выходов связанных между собой моделей, в невыполнении общесистемных ограничений при объединении решений подсистем. Но даже если решение подсистемы в совокупности образует допустимый план, то крайне маловероятно, что полученный таким путем народнохозяйственный план будет оптимальным. Сущность проблемы согласования моделей состоит в том, чтобы путем изменения величены параметров входов и выходов, получить сочетание (композицию) решений подсистемы, дающее сбалансированное решение для всей системы.


    Народнохозяйственная система

    т р а с л е в о

    й у р о в е н

    О ь


    image

    image

    Отрасль Отрасль


    У р о в е н ь п р е д р и я т и й


    Рис. 3.3. Структура системы моделей


    Общая структура системы моделей представлена на рис. 3.3. Практически реализуемая система моделей является “открытой”: она не исчерпывает всех задач планирования (особенно на первых этапах реализации) и требует внешнего информационного дополнения.

    Характеристиками входа обычно являются величина и структура затрат материальных ресурсов (сырье, материалы, инвестиции, энергетические и другие ресурсы) и условия их производственного потребления (технологические способы производства, природные и климатические условия и пр.); характеристиками выхода - резуль- таты производства и экономической эффективности (себестоимость,


    рентабельность, прибыль и пр.). Параметры “входа” и “выхода” могут рассматриваться как переменные величины, находящиеся между собой в определенной зависимости.

    Обмен информацией между моделями, входящими в систему организуется таким образом, чтобы в результате итеративных пересчетов найти вариант оптимального плана в укрупненных показателях, увязанный с проектировками производственных подсистем разного уровня.


    image

    Методы расчета параметров

    моделей

    Параметры составляют основу, каркас для построения экономико-математических моделей. Численные значения параметров определяют на предварительной стадии проведения оптимизационных расчетов. Значения параметров моделей определя-

    ются по результатам, полученным на основе экспериментальных расчетов. В практике экономико-математического моделирования одним из наиболее употребляемых является метод корреляционно- регрессионного анализа. Пространственная совокупность промыш- ленных объектов одной отрасли достаточно неоднородна и обладает определенной структурой, т.е. общая совокупность распадается на ряд подсовокупностей, имеющие свои отличные характеристики зависимостей экономических показателей от входных переменных.

    Пространственная неоднородность совокупности объектов проявляется из-за различия уровней техники, технологий и органи- зации производства на отдельных объектах совокупности. Одной из основных причин различия уровней этих характеристик выступает время ввода объекта в эксплуатации, его “возраст”. Объекты, по- строенные в один или близкий календарный период, как правило, имеют близкий уровень техники и технологии производства. И наоборот, объекты разных “поколений” обычно существенно разли- чаются между собой по своим характеристикам и характеру влияния различных факторов производства на экономические показатели.

    Изучение технического уровня развития производства модели- руемой совокупности объектов отраслевой системы, представляет собой задачу многомерной классификации, решаемую при помощи метода кластерного анализа на предоптимизационной стадии вычислений. Суть этой задачи заключается в следующем. Имеется совокупность промышленных предприятий, технический уровень


    которых описывается системой характеристик, как количественных, так и качественных. Совокупность исследуемых объектов подвергает- ся многомерной классификации по этому комплексу характеристик. Каждый из выделяемых классов будет объединять предприятия, близкие между собой по значениям комплексных характеристик, т.е. имеющих примерно одинаковый технический и технологический уровень. Это дает возможность проведения анализа технического уровня производства на предприятиях отрасли в данный момент времени с позиций самой отрасли, представленной теперь некоторым обозримым числом классов.

    В перспективных планах развития промышленного производства обычно предусматривается ввод в эксплуатацию значительного числа новых предприятий. Длительность их строительства и время пуска оказывает большое влияние на экономические показатели выпуска продукции предприятиями отрасли. При этом точность отраслевого планирования во многом зависит от точности оценки динамики показателей вновь построенных объектов в период освоения. Исследование процесса освоения имеет большое значение и для экономического анализа.

    В общем виде содержание задачи прогнозирования сводится к следующему: на основе некоторых априорно известных характери- стик вновь построенных промышленных объектов необходимо оценить наиболее вероятное значение параметров процесса освоения этих объектов. Для изучения динамики изменения абсолютных величин используются методы прогнозированния. Применение этих методов на стадии предварительных вычислений значительно повышает точность оптимизационных расчетов.


    Краткое повторение


    image

    Метод структурного моделирования название метода структуризации исследуемой проблемы, в серию решаемых экономических задач.


    image Межмодельный интерфейс параметров организация обмена информации между моделями, входящими в систему моделей.


    image Агрегированные переменные объединенные, укрупненные переменные, полученные на основе преобразования модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений.


    image Деагрегированные переменные детализирован- ные переменные, полученные в результате транс- формации модели в модель большей размерности.


    § 3.3. Декомпозиционный и композиционный подходы

    image

    Декомпозиционный подход

    в моделировании

    В основе декомпозиционного подхода к построению системы экономико-матема- тических моделей лежит представление о том, что исследуемый объект может быть представлен в виде глобальной оптимиза- ционной модели, которую можно разбить

    на модели подсистем и получить оптимальное решение в процессе итеративного согласования локальных решений.

    Выделение подсистем и построение их моделей (множества допустимых вариантов развития и локальных критериев оптималь- ности) осуществляется одновременно с выбором схемы согласования решений моделей подсистем. При этом локальные критерии специальным образом выводятся (редуцируются) из глобального критерия оптимальности. Согласование решений моделей подсистем одного уровня, формализуемой иерархической структуры, осуществляется посредством моделей подсистем более высокого уровня (в частности модели “центра” в двухуровневой системе), которым придаются необходимые координирующие функции.

    Математическую основу декомпозиционного подхода составляет математическое программирование. Согласование решений осуществляется в итеративном процессе обмена информацией между моделями нижнего и верхнего, координирующего уровней. Информация может преобразовываться при передаче ее между различными уровнями иерархии: сжиматься (агрегироваться) при движении на верхние уровни и детализироваться (деагрегироваться)


    image

    при ее движении в обратном направлении. Координирующее воздей- ствие состоит в уточнении параметров критериев оптимальности и условий, формирующих множество допустимых планов подсистем. Принято выделять два типа информационных потоков: натуральные показатели, характеризующие материально-вещественные взаимо- связи и ресурсно-технологические возможности подсистем (задания и объемы производства продукции, лимиты и потребности в ресурсах общесистемного назначения и т. п.); ценностные показатели (цены, процент за кредит, оценка дефицитности ресурсов и т.д.).



    Метод “декомпозиции” название метода моделирования, основанного на рациональном разбиении модели большой размерности на несколько взаимосвязанных моделей меньшей размерности и решения отдельных подзадач с последующим согласованием частных решений для получения общего оптимального решения.


    При декомпозиции отдельные локальные подсистемы модели рассматриваются как обособленные звенья, но критерии их развития строятся таким образом, чтобы находимые решения в наибольшей мере отвечали глобальному критерию. В сущности, здесь нет проблемы согласования глобальных и локальных интересов, поскольку вменяемые подсистемам критерии не всегда отражают их собственные (внутренние) интересы. Итеративные процедуры присущие декомпозиционным методам, реализуют не процесс согласования локальных и глобальных интересов, а корректируют направленность отдельных критериев на достижение общей цели.


    image

    Композиционный подход

    в моделировании

    Система моделей композиционного типа собирается из моделей отдельных под- систем. Ее главное отличие от системы моделей, построенной по принципу декомпозиции, заключается в следующем.

    Во-первых, локальные критерии оптимальности отражают внутренние (имманентные) интересы подсистемы, а не выводится из глобального критерия, а во-вторых, эти локальные критерии заранее не сводятся в


    image

    глобальный критерий оптимальности. Таким образом, моделируемые подсистемы рассматриваются как объекты, ориентирующиеся в своей деятельности на собственные интересы. Критерий, выражающий в конечном счете глобальный оптимум, при таком подходе может быть получен путем синтеза локальных критериев оптимальности при некоторых условиях сочетания интересов отдельных подсистем.


    Метод композиции название одного из методов моделирования, основанного на выстраивании моделируемой экономической системы из моделей отдельных подсистем и получения единого решения на основе синтеза критериев оптимальности.


    Система моделей, построенная в соответствии с композиционным подходом, состоит из двух основных частей: условий, описывающих функционирование отдельных подсистем, и координирующих условий, связывающих эти подсистемы. При этом координирующие условия, как правило, имитируют наиболее существенные аспекты функционирования реального экономического механизма. Путем изменения правил, регулирующих взаимоотношения между подсистемами (элементов экономического механизма), можно влиять на процесс выполнения расчетов выбора возможных вариантов развития, как всей моделируемой системы, так и ее подсистем.

    При композиционном подходе (в частности, в моделях экономи- ческого взаимодействия) согласование решений имитирует действие экономического механизма при этом может осуществляться как горизонтальная, так и горизонтальная координация функционирова- ния подсистем. Анализ моделей позволяет выделить множество сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, улучшения положения всех подсистем, а также множество возможных вариантов решения, где интересы различных подсистем вступают в противоречие, и требуется находить компромиссы.


    image Метод декомпозиции метод моделирования, который основан, на рациональном разбиении модели большой размерности на несколько взаимосвязанных моделей


    меньшей размерности и решения отдельных подзадач с последующим согласованием частных решений для по- лучения общего оптимального решения.


    image Метод композиции название метода моделирования, основанного на выстраивании моделируемой экономи- ческой системы из моделей отдельных подсистем и по- лучения единого решения на основе синтеза критериев оптимальности.



    ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ


    агрегированные переменные деагрегированные переменные декомпозиционный подход композиционный подход межмодельный интерфейс параметров


    метод “белого ящика” метод “черного ящика” структурирование моделей полиструктурность


    Контрольные вопросы и задания

    ?

    1. Что представляет собой метод “черного ящика”?

    2. Что представляет собой метод “белого ящика”?

    3. Построение структурированных моделей.

    4. Межмодельный интерфейс параметров.

    5. Методы расчета параметров.

    6. Подходы к построению системы моделей.

    7. Декомпозиционный подход в моделировании.

    8. Композиционный подход в моделировании.

image

В этой главе будут рассмотрены мето- ды, которые наиболее часто применя- ются при построении оптимизацион- ных моделей. Рассмотрены основные постулаты линейного программирова- ния. Показаны приемы, которые очень часто используются при построении экономико-математических моделей.

Г л а в а

4

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ


§ 4.1. Методы линейного моделирования


image

Модель

с линейными зависимостями

Линейные экономико-математические модели являются в настоящее время наиболее разработанным инструментом экономических исследований. Этому немало способствует как сравнительная простота получения

оптимизационных решений, так и возможность их экономической интерпретации. В линейных моделях промышленного производства выпуск продукции задается с помощью множества технологических способов. Каждый из способов при этом, является одним из альтернативных вариантов производства того или иного вида продукции и задается в матрице модели как вектор-столбец коэффициентов затрат и выпуска. Размерность вектор-столбца матрицы модели определяется числом используемых в процессе производства компонент, ресурсы которых ограничены. Любая из компонент технологического способа производства может быть интерпретирована как норма расхода какого-либо ресурса на единицу выпускаемой продукции. В наиболее общей форме эта задача может быть рассмотрена как задача распределения лимитированных ресурсов. Распределение сырья, материалов, электроэнергии, водных


ресурсов, финансовых средств, рабочей силы, транспорта, оборудо- вания и т. д. все это задачи распределения ресурсов.

Модель распределения лимитированных ресурсов может быть формализована и представлена в следующем виде: на основании n возможных технологических способов производства продукции

image

j =1, n

image

и имеющихся у предприятия m видов ресурсов, количество

которых равно

bi i=1, m , необходимо найти один из оптимальных

вариантов их использования, при котором величина получаемой при-

были будет максимальной. Для этого введем следующие обозначения:

j технологический способ производства продукции;

n число технологических способов производства;

i вид ресурсов;

m число видов ресурсов;

bi количество имеющихся ресурсов;

aij нормативный коэффициент затрат ресурсов i на выпуск продукции с использованием технологического способа производства j;

c j прибыль от выпуска единицы продукции, полученной с использованием технологического способа производства j;

x j количество продукции, получаемой по технологическому способу производства j.

Математическая модель. Используя имеющиеся ресурсы,

image

количество которых ограничено, найти оптимальные значения x j n

aij x j bi ,

j 1

i 1, m;

(4.1)

позволяющие получить максимальную прибыль

n

c j x j max,

j 1

image

при условии не отрицательности переменных


(4.2)

x j 0 ,

j 1, n.

(4.3)


В матричной форме модель распределения лимитированных ресурсов наглядно представлена на рис.4.1. На этом рисунке показа- ны основные конструктивные элементы экономико-математической



image

image

image

image

матрица ограничения

технологических

переменные

правых

коэффициентов частей


X1 X2 X3 Xn bi

image

b1

a11

a12

a13 a1n

a21

a22

a23 ... a2n

a.31

..

am1

a32

..

a.

m2

a.33 a.3n

.. ..

am3 ... amn

пересечение = ,

строк и

вектор-столбцов


целевой функции


Cj

=b2 ,

.

=b3 ,

..

c1 c2 c3 cn

max

=bm.


Рис. 4.1. Матрица модели распределения ресурсов


модели: матрица технологических коэффициентов, переменные, ограничения правых частей, коэффициенты целевой функции.


image

Постулаты линейного программирования

Для построения экономико-математической модели в соответствии с требованиями линейного программирования требуется принять ряд необходимых допущений. Основой построения такого рода модели является рассмотрение производственного

процесса как совокупности нескольких элементарных функций, на- зываемых технологическими способами. Технологический способ, при


этом, мыслится как своего рода черный ящик, для которого на вход подаются материальные ресурсы (сырье, материалы, рабочая сила), а выходом оказываются продукты промышленного производства.

Примем следующие три допущения, играющие очень важную роль при построении моделей линейного программирования:



переменных моделей линейного программирования известно как условие неотрицательности.

Постулирование свойств пропорциональности и аддитивности эквивалентно утверждению о том, что соответствующая модель может быть представлена в виде линейных соотношений. В более точной интерпретации сформулированные выше аксиомы означают, что применительно к моделируемому технологическому процессу доходы прямо пропорциональны затратам ресурсов на производство, а непропорциональный эффект (технологического или экономического характера) оказывается невозможным. В реальной ситуации сформулированные выше постулаты, позволяющие использовать линейные модели, могут оказаться справедливыми лишь приближенно (хотя, возможно, и с достаточной степенью точности). Предпола- гается, что для всех рассматриваемых моделей промышленного производства условия постулирования в целом будут выполнимы.


image

Этапы формализации линейной модели

Процесс построения линейной модели часто оказывается более сложным, чем кажется первоначально ввиду богатства разнообразия и неопределенности реальной действитель- ности. Тем не менее, можно сформулировать

некоторые принципы, определяющие последовательность этапов в процессе построения модели. При этом, можно выделить следующие пять основных этапов.


кого способа. Эти числовые величины, коэффициенты затрат выпуска, представляют собой коэффициенты пропорциональности, связывающие потоки потребления ресурсов и получения продукции в процессе производства.


Таким образом, в результате построения модели получают совокупность математических соотношений, описывающих все допустимые варианты производства продукции. Эта совокупность и есть модель линейного программирования.


Краткое повторение

image Пропорциональность одно из основных до- пущений построения линейных моделей, пред- полагающее существование пропорциональных зависимостей между количеством потребляемых ресурсов и объемами выпуска продукции.


image Аддитивность одно из допущений линейного программирования относительно баланса объе-



мов распределяемых между технологическими способами ресурсов, равного сумме их количеств поступивших в процесс производства, за минусом суммы их количества выходящих из него.


image Неотрицательность одно из условий допуска- ющее получение любого положительного коли- чества выпускаемой продукции, и в принципе исключающее ее какое-либо отрицательное число.


§ 4.2. Приемы линейного моделирования


image

Конструктивные элементы моделей

Несмотря на некоторые различия в по- строении моделей, что прежде всего обусловлено разностью решаемых экономи- ческих задач, они в целом достаточно схожи. Это, в первую очередь, касается конструктив-

ных элементов построения моделей. К числу таких конструктивных элементов относятся: матрица технологических коэффициентов, ограничения правых частей и целевая функция. Рассмотрим более детально, как формируется матрицы технологических коэффициен- тов экономико-математических моделей задач решаемых с помощью методов линейного программирования.

Построение матрицы технологических коэффициентов начинается с определения технологических способов, представляемых в матрице модели в виде вектор-столбцов, и условий ограничения ресурсов записываемых как отдельные строки. Их число определяет раз- мерность матрицы модели. При этом коэффициенты aij записываются на пересечении строк и столбцов матрицы. Эти элементы матрицы


модели несут числовую экономическую информацию. Их принято называть технико-экономическими коэффициентами. Различают нормативные коэффициенты, связанные с технико-экономической характеристикой переменных величин, коэффициенты пропорцио- нальности и коэффициенты связи.

Нормативные коэффициенты по своему содержанию подразде- ляются на коэффициенты затрат и выпуска продукции. Нормативные коэффициенты затрат указывают, какое количество ресурсов вида i затрачивается на производство единицы продукции. Нормативные коэффициенты затрат рассчитываются различными методами. Чаще всего они определяются с помощью технологических карт, или устанавливаются на основании фактических затрат, обработанных статистическими методами с определением производственных функций. Перечень этих затрат устанавливается в соответствии с условиями, оговоренными при постановке экономико-математической модели задачи. Размерность определяется в соответствии с соизмеримостью элементов матрицы. Нормативные коэффициенты выпуска продукции определяются в основном с использованием технологических карт, при определении производственных функций или при другой статистической обработке данных.

Все нормативные коэффициенты затрат и выпуска продукции могут быть представлены в прямом (физическом, натуральном) виде, а также как произвольные величины. Например, расход клея на производство обуви можно выразить и в физическом весе, и в произ- вольных величинах (по содержанию отдельных компонент).

Расчет нормативных коэффициентов это очень важная часть процесса построения модели, так как от их достоверности этих коэффициентов зависит правильность решения задачи.

Коэффициенты пропорциональности вводятся в матрицу для используемых в модели дополнительных и вспомогательных ограни- чений. При описании дополнительных условий, когда выпуск одного вида продукции пропорционален выпуску другого. Записать, эти условия в соответствующих ограничениях можно только при помощи коэффициентов пропорциональности.

Коэффициенты связи обозначают связь между получаемым значением переменной величины и объемом ограничения. Их рассчитывают с учетом правил по установлению размерности для


технологических коэффициентов. В большинстве случаев они равны единице.


Переменные величины вводимые в матрицу модели, классифи- цируют с учетом их роли и интерпретации результатов полученных решений. Они в свою очередь, делятся на основные, вспомогательные

и дополнительные.

Основные переменные определяют количество продукции,

которое должно быть получено с использованием альтернативных технологических способов производства (например, одежда, обувь, галантерейные изделия).

Дополнительные переменные (искусственные) это переменные, которые вводятся в модель с целью приведения ее к каноническому виду. Искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи (отсюда и их название “искусственные”). Вместе с тем без оценки их значений невозможно до конца проанализировать результаты полученных расчетов. При этом следует учитывать тип ограничения. Искусственные переменные могут показывать как количество неиспользуемых ресурсов, так и объем продукции, которая может быть получена сверх плана. В ряде случаев они показывают разность между максимально возможным объемом выпуска и вы- пуском по оптимальному плану.

Вспомогательные переменные вводят в модель для облегчения формализации условий. Эти переменные определяют аккумулируемые числовые значения объемов выпуска продукции и потребления ресурсов. Как правило, они не имеют какого-либо определенного экономического толкования.

Вспомогательные переменные, выражающие виды и способы деятельности, могут быть одно-, двух- и многокомпонентными в зависимости от того, с каким количеством ограничений они связаны. Большинство переменных являются двух- и многокомпонентными. Однокомпонентные переменные связаны только с одним ограни- чением и целевой функцией.

Важное место при построении экономико-математической модели задачи имеет перечень и размерности числовых величин переменных. В каждом конкретном случае они определяются в зависимости от целей моделирования. Перечень может содержать переменные


величины, выражающие однотипные или разнотипные экономические показатели. Как правило, определенные экономико-математические задачи содержат в основном одинаковый перечень переменных величин, что значительно облегчает их составление.

В соответствии с опытом моделирования в настоящее время разработан целый ряд правил, которым необходимо следовать при определении размерности переменных величин:



После того как были установлены альтернативные технологичес- кие способы, определяют ограничения экономико-математической модели задачи. Нахождение приемлемых с точки зрения предприя- тий оптимальных решений зависит прежде всего от правильного определения состава ограничений. В них отражаются важнейшие условия и требования организации и управления производством. Ограничения формулируют в виде системы уравнений и неравенств, выражающей возможности производства и баланса ресурсов. В этой связи особую значимость приобретает полнота и точность отражения в модели всех ограничений, накладываемых на переменные. При


формулировании ограничений необходимо, чтобы все условия задачи были по возможности представлены в модели. Количество ограниче- ний должно соответствовать необходимой степени сложности модели. Оно не может быть излишне большим или слишком маленьким.


Ограничения ресурсов могут налагаться на все переменные, какую-либо их часть или отдельные величины. В состав ограничений могут входить три типа известных соотношений (больше или равно ( ), равно (=), меньше или равно ( )). По своему характеру ограниче- ния делятся на основные, дополнительные и вспомогательные.

К основным относятся такие ограничения, которые наклады- ваются на все или большинство переменных линейной функции. Они выражают основные технико-экономические условия задачи. В промышленном производстве к ним относятся ограничения на лимитированные ресурсы: финансовые средства, материалы, станки и технологическое оборудование, рабочую силу, топливо, воду электрическую энергию. Из всех используемых ресурсов в расчет берутся только те, использование которых ограничено их определен- ным объемом.

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные переменные или на их небольшие группы. Обычно они формули- руются в виде неравенств, ограничивающих “снизу” или “сверху” объемы производства отдельных видов продукции, использования остро дефицитных ресурсов. С их помощью связываются также отдельные блоки модели, представляющие собой как бы ряд частных задач в единой общей задаче. Например, задача оптимизации ассорти- мента выпускаемой продукции, где в качестве блоков выступают отдельные цеха предприятия.

Вводить дополнительные ограничения следует умело. Особенно очень важно не перенасытить ими модель, не сократив степеней свободы выбора, в противном случае решение задачи сведется к арифметическому вычислению заранее предрешенного результата.

Вспомогательные ограничения не имеют самостоятельного экономического значения. Их используют главным образом для обеспечения правильной формулировки экономических требований и математической записи системы линейных ограничений.

Размерность каждого ограничения i определяется единицами


измерения его правой части bi . К примеру, bi

означает фонд рабочего

времени в человеко-часах. Следовательно, размерность ограничений

по трудоемкости будет также в человеко-часах.

Размерность любого коэффициента aij ограничения i должна быть равна размерности, принятой для этого ограничения (размерность bi ),

деленной на величину переменной

x j .

Важное место в формализации экономико-математической модели

занимает целевая функция, экстремальное значение которой характеризует предельно достижимую эффективность моделируемого объекта. Найдя экстремум целевой функции, определив значения искомых переменных которые к нему приводят, находят оптимальное

решение задачи. Коэффициенты целевой функции

c j наиболее

тесным образом связаны с целевой установкой решения задачи и

соответствующим критерием оптимальности.

Критерий оптимальности определяет целевую направленность в решении экономической проблемы. Численное его значение находится как сумма произведений коэффициентов целевой функции умножен- ных на значения переменных, определяемых в ходе решения задачи.

В этой связи экономическое содержание коэффициентов целевой функции должно обеспечить соответствие критерию оптимальности. Но это не значит, что содержание коэффициентов целевой функции и содержание целевой установки обязательно должны совпадать. Так, например, показателем эффективности работы предприятия может быть как максимальная величина получаемой прибыли, так и мини- мальные затраты. Если в одном случае коэффициентами целевой функции будет прибыль, получаемая от производства единицы продукции, то во втором затраты.

В практике экономико-математического моделирования критерий оптимальности не может и не должен носить жесткого однозначного характера. Для решения такого рода задач требуется их формализа- ция, которая неизбежно связана с экспертными оценками как самих критериев, так и взаимоотношений между ними (одни критерии про- тиворечат другим, другие наоборот, действуют в одном направлении, третьи – индифферентны, безразличны друг к другу. В этой связи возникает необходимость построения многокритериальных задач. Построение и решение оптимизациционных задач в многокритери- альной форме одно из наиболее перспективных направлений развития экономико-математического моделирования.


image

Приемы построения моделей

Рассмотрим наиболее употребляемые приемы, используемые в экономико-математическом моделировании. Они могут быть условно разделены на два типа: которые применяют- ся при формализации матрицы модели и

которые применяются для ограничений правых частей. Как в первом, так и во втором случае они представляют собой дополни- тельно вводимые ограничения, которые могут накладываться на отдельные переменные или имеющиеся ресурсы.

При построении матрицы технологических коэффициентов очень часто прибегают к таким приемам, как введение отраженной переменной и коэффициентов пропорциональности.

Для решения ряда экономических задач нередко требуется определить суммарную величину выпускаемой продукции, которая пока еще сама неизвестна. Допустим, необходимо определить уровень выпуска продукции для всех цехов предприятия. В таких и подобных им случаях прибегают к приему моделирования, который называется отраженной переменной.

Этот прием основан на линейном соотношении переменных. Если в соотношении a i1 x 1 + a i 2 x 2 + + a in x n = b i константу b i заменить

вспомогательной переменной уравнения, то получим:

x и перенести ее в левую часть


image

a i1 x 1 + a i 2 x 2 + … + a in x n - x = 0,


image

где x всегда будет равно сумме произведений нормативных коэф- фициентов, умноженных на полученные неотрицательные значения переменных величин.

При моделировании процессов выпуска продукции в промыш- ленном производстве нередко необходимо обеспечить требуемые пропорции, в соотношениях между значениями двух (нескольких) переменных. В этих случаях для записи условий задачи пользуются приемом введения в матрицу модели вспомогательных ограничений пропорциональной связи, получивших название коэффициентов пропорциональности. Рассмотрим использование этого приема на конкретном примере. Известно, что величина расхода материалов на производство продукции не должна превышать 500 т. Ограничение


пропорциональности связей гарантирует выполнение условий в соотношениях расхода материала:


x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5

500.


Следующий пример. В плане производства обуви оговаривается, что поток должен выпустить не менее 1000 пар. Из них сапоги составят 20 %, полуботинки 30 %, туфли 40 % и комнатные тапочки 10 %. Это условие записывается в виде следующего уравнения пропорциональной связи. Но для его записи необходимо найти коэффициенты пропорциональности. Они определяются следующим образом. Разделив все количество выпускаемой обуви 1000 пар на количество выпускаемых сапог 200 пар, получим коэффициент 5. Для полуботинок, туфель и комнатных тапочек этот коэффициент будет равен соответственно: 3,33; 2,50 и 10. При этом, уравнение пропорциональности будет иметь такой вид:


5 x 1 + 3,33 x 2 + 2,50 x 3 + 10 x 4 = 1000.


Для математической формулировки технико-экономических условий, требующих изменения объемов ограничений ресурсов (величины bi ) при неизменных коэффициентах переменных величин, пользуются двумя приемами: установления диапазона изменений и введения дополнительной переменной.

Использование такого приема как установления диапазона изменений ограничений ставит своей целью определение границ

изменения величины лимитированных ресурсов

bi . Это условие

записывается при помощи двух линейных соотношений:


a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n

a 21 x 1 + a 22x 2 + … + a 2n x n

ά 1 ;

β 2 .


При решении подобная формулировка обеспечивает изменение

величины

bi в пределах ά 1 bi β 2 , где ά 1 нижняя допустимая

граница изменения величины bi , а β 2 верхняя допустимая граница. Допустим, при решении экономико-математической задачи нужно учесть, что объемы заготовок кожевенного сырья, постав-


ляемого для производства кожи, могут изменяться в пределах от

150000 до 220 000 шт. Это условие можно записать так:


a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n 150000;

a 21 x 1 + a 22x 2 + … + a 2n x n 220000.


Однако этот прием применим лишь тогда, когда можно

установить величины ά i

и β i . Значения ά i

и β i

могут зависеть

от других условий, которые учитывают при разработке модели предприятия, но величина которых точно не известна. Величина bi при этом, может изменяться в очень широких пределах. Для таких случаев может быть применен другой, более универсальный метод.

Введение дополнительной переменной. Это один из приемов приведения модели к каноническому виду. Дополнительная (искусственная) переменная показывает, насколько может быть

увеличено (уменьшено) значение величины

bi , что дает возможность

в случае необходимости скорректировать ее значение. При этом

формализованная запись условий принимает следующий вид:


a i1 x 1 + a i 2 x 2 + … + a in x n s i = b i ,


где s i дополнительная переменная, знак ее ( ) определяется типом неравенства ( , ). Экономический смысл записи объем потреб- ляемых ресурсов, который может быть частично не использован (при

неравенстве типа

), или выпуск продукции, который превышает

заданный объем (неравенство типа ). В случае если объем выпуска

продукции ограничен (неравенство типа

), то дополнительная

переменная показывает разность между величиной максимально

возможного выпуска b i

и выпуском по оптимальному плану b i s i .

Проиллюстрируем применение этого приема с помощью примера.

Для производства швейных изделий предприятию требуется

100000 м 2

ткани. В математической записи это выглядит так:


a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + s 1 = 100000.


Результаты расчетов показали, что значение дополнительной

введенной переменной s i

равно 1000. С практической точки зрения


это означает, что из 100 000 м 2

ткани, которые первоначально

запланированы для производства швейных изделий, 1000 м 2 будет сэкономлено. Таким образом, количество расходуемой ткани в условии нашей задачи может быть сокращено до 99000 м 2 .

Другой пример. Обувной фабрикой запланирован выпуск не менее 16000 пар моделей женских туфель. В формализованном виде это условие записывается так:


a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n s 1 = 16000.


В результате расчетов было получено, что значение дополнительной переменной равняется 210. Это означает, что в соответствии с оптимальным планом выпуска обуви будет дополнительно получено 210 пар женских туфель. В целом же выпуск составит 16210 пар.

Еще один пример. Количество пар комнатных тапочек, которое планируется выпустить на обувной фабрике, не должно превышать 11000 пар. В математической записи это выглядит так:


a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + s 1 = 11000.


Полученные результаты показали, что значение введение дополни- тельной переменной s 1 равняется 520. В экономическом плане это число составляет разностью между величиной максимально допустимого выпуска 11000 пар и выпуска по оптимальному плану 10 480 пар.


image

Краткое повторение


Введение отраженной переменной прием моделирования, позволяющий суммировать произведения технологических коэффициентов, умноженных на значения этих переменных.


image

Задание коэффициентов пропорциональности

один из приемов моделирования обеспечивающий


соблюдение требуемых соотношений между искомыми переменными.


image Установления диапазона изменения ограниче- ний прием, для установления границ изменения ограничений лимитированных ресурсов.


image Введение дополнительной переменной прием приведения модели к каноническому виду. Эта переменная показывает, на сколько может быть увеличено (уменьшено) значение ограничений, что дает возможность корректировать величину лимитированных ресурсов.


§ 4.3. Построение блочной модели


image

Блочная оптимизационная модель

Для решения сложных задач линейного программирования, матрицы которых большой размерности, используются специальные методы разложения моделей, на отдельные блоки. Большая

модель с крупноразмерной матрицей (включающая множество вектор- столбцов и ограничений) разбивается на блоки и сводится к нескольким моделям с матрицами меньшей размерности. Блочная матрица, при этом представляет собой матрицу, разбиваемую верти- кальными и горизонтальными линиями на отдельные блоки, которые рассматриваются как ее отдельные элементы. Необходимость такого подхода обусловлена тем, что с увеличением размерности модели сложность решения задачи растет неизмеримо быстрее.

Широкое применение методов блочного моделирования для решения оптимизационных задач получило в задачах, где естественно разложение, “декомпозиция” общей модели отрасли либо на блоки –


модели предприятий, либо на блоки, соответствующие последова- тельным стадиям переработки сырья (технологические переделы).

Среди методов декомпозиции наиболее известны два: метод декомпозиции ДанцигаВульфа и метод планирования на двух уровнях КорнаиЛиптака. Оба они представляют собой последова- тельные (итеративные) пересчеты, взаимноувязанных решений главной “отраслевой” задачи и локальных задач предприятий. Различие же между ними состоит в том, что в первом случае итеративный процесс основан на корректировке двойственных оценок ресурсов и продукции (такая корректировка делает для предприятия выгодными планы, все более приближающимися к оптимальному плану отрасли), а во втором случае – на корректировку лимитов общеотраслевых ресурсов, выделенных предприятиям.

Иначе говоря, схема ДанцигаВульфа строится по принципу “централизованное установление цен – децентрализованное опреде- ление наилучших возможностей”, а схема КорнаиЛиптака – по принципу “централизованное лимитирование потенциальных воз- можностей – децентрализованное выявление эффекта от их исполь- зования”. В каждом из случаев важную роль играют двойственные оценки, причем их оптимальный уровень выявляется вместе с оптимальным распределением ресурсов.


image

Блочная схема матрицы

модели

Блочное построение матрицы модели большой размерности предполагает наличие в ее структуре блоков числовых коэффи- циентов расположенных по главной диаго- нали (рис. 4.2). Каждый из этих блоков,

является блоком числовых коэффициентов матриц моделей, объеди- ненных в единую матрицу модели совместно решаемой задачи. Матрица модели имеет блочно-диагональный вид. При этом наряду с ограничениями отдельных блоков, каждый из которых содержит только определенную часть ограничений, не входящих в другие блоки, она также содержит и связующий блок переменных с общими ограничениями. Связующий блок с общими уравнениями-ограни- чениями называют блоком-связкой, или просто связкой, так как именно эти уравнения связывают между собой переменные различных диагональных блоков. Ели бы не было блока-связки, то задача очевид- ным образом распалась бы на несколько (по числу диагональных


блоков) самостоятельных, независимых между собой подзадач, определенных отдельными блоками и соответствующими слагаемы- ми целевой функции. Решив эти отдельные задачи, мы тем самым решили бы и исходную задачу: ее оптимальное решение составилось бы из оптимальных решений подзадач, а оптимум равнялся бы сумме их оптимумов.



image

блоки матрицы технологических коэффициентов

image

ограничения правых частей


Блок-связка =



Блок 1

=



Блок 2

=



Блок 3

=

коэффициенты целевой функции


image

opt


Рис. 4.2. Схема блочной матрицы модели


При наличии блока-связки так поступать нет смысла. Задачи, определяемые отдельными диагональными блоками, теперь нельзя рассматривать как самостоятельные, так как переменные, входящие в них, подчинены еще общим ограничениям. Однако естественно


стремится все же как-то использовать особенности задачи и свести решение исходной большой задачи к решению последовательности подзадач, определяемых связанными между собой блоками.


image

Двухуровневая оптимизационная модель

В настоящее время одним из самых раз- работанных и распространенных методов декомпозиции моделей, является метод построения модели на двух уровнях.

Рассмотрим более подробнее проблему постановки задачи и согласования решения с помощью декомпози- ционной схемы разложения матрицы модели Корнаи-Липтака. Пред- положим, что моделируемая экономическая система состоит из ряда

l подсистем

l (1, L).

Глобальную модель определим как задачу с

заданным критерием оптимальности, описывающим общесистемные интересы, и ограничениями из заданных условий производства. Локальные задачи для каждой из моделируемых подсистем определяется следующим образом:

nl

image

aij j xi

i 1, m;

(4.4)

l l l ,

image

j1

j

l 0,

j 1, ni ;

(4.5)


nl

cl (l ) cl l max.


(4.6)

j j

i1

Глобальная модель верхнего уровня такова:


L

l

xi


bi ,


image

i 1, m;


(4.7)

l 1


i

xl 0,


image

l 1, L;


image

i 1, m;


(4.8)


L m

ql xl max.

(4.9)

i i

l 1 i1


Согласование решений по системе моделей (4.4) – (4.9), в общих чертах осуществляется так: сначала каждой подсистеме выделяется


image

некоторый объем ресурсов

i

xl ,

где

i 1, m . После этого решаются

локальные задачи (4.4) – (4.6). Двойственные оценки соответствую- щих ограничений этих задач характеризуют эффективность данного варианта распределения ресурсов. Получив эти оценки, необходимо произвести корректировку распределения ресурсов, для чего решается задача верхнего уровня (4.7) – (4.9). Как видно задача (4.7) – (4.9) распадается на m (где m – число видов общих ресурсов)

не связанных между собой задач распределения ресурса i

(i 1, m) ,

в каждом из которых есть единственное связывающее ограничение. Решение такой задачи имеет довольно простой экономический смысл и состоит в том, что весь запас имеющихся ресурсов выделяется той подсистеме, для которой оценка эффективности использования

q

i

этого ресурса l

максимальна. Если же несколько подсистем

используют данный ресурс с равной эффективностью, то его можно выделить любой из них.

Применение декомпозиционных схем основано на ряде исходных посылок. В частности для рассматриваемой системы, в которой реализуется согласование решений разных уровней, признается наличие заранее заданной общей глобальной модели, описывающей функционирование системы в целом. Задачи верхнего и нижнего уровней отыскиваются из заранее сформулированной глобальной модели с последующей увязкой иерархических решений до получения глобального решения. Тем самым, задачи верхнего и нижнего уровней оказываются, как бы выделенными из глобальной задачи: ограничения этих задач являются частью ограничений исходной задачи, а целевые функции выводятся из ее целевой функции. Часто эти задачи интерпретируются как задачи, решаемые центральным управляющим органом и локальными хозяйственными объектами. При этом иерархия органов управления полностью совпадает с реальной иерархией моделируемой производственной системы: органы управления строго соответствуют объектам управления, причем их функции четко определены и исключают дублирование. При таком подходе механизм взаимодействия систем, принимающих решения, т.е. способ координации центральным органом управления локальных подсистем, количество и состав информации, которая обменивается между различными уровнями, полностью определяется решаемой глобальной задачей.


image

Краткое повторение


Блочная матрица матрица модели, разбитая вертикальными и горизонтальными линиями на отдельные блоки, которые являются матрицами меньшей размерности и рассматриваются как ее отдельные элементы.


image

Двухуровневая модель оптимизационная модель, решаемая на глобальном и локальном уровнях, при очень тесной координации результатов расчетов, полученных на всех моделируемых уровнях.



ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ


блочная матрица вспомогательная переменная вспомогательное ограничение двухуровневая модель дополнительная переменная дополнительное ограничение

коэффициент пропорциональности коэффициент связи

критерий оптимальности нормативные коэффициенты


ограничения правых частей основные ограничения основные переменные отраженная переменная постулат аддитивности постулат неотрицательности

постулат о пропорциональности технологические коэффициенты технологический способ целевая функция


Контрольные вопросы и задания

?

  1. Особенность моделей линейного программирования.

  2. Основные допущения линейного программирования.

  3. Постулат о пропорциональности.

  4. Постулат об аддитивности.

  5. Постулат о неотрицательности.

  6. Этапы формализации модели.

  7. Конструктивные элементы построения моделей.

  8. Приемы построения моделей.

  9. Введение отраженной переменной.

  10. Задание коэффициентов пропорциональности.

  11. Введение дополнительной переменной.

  12. Блочная оптимизационная модель.

  13. Блочная схема матрицы модели.

  14. Двухуровневая оптимизационная модель.


image


Часть III

Решение оптимизационных задач и анализ полученных результатов


image


* Тема 5. Решение оптимизационных задач

§ 5.1. Решение задач на компьютере

§ 5.2. Интерфейс с пользователем

§ 5.3. Нахождение оптимального решения


* Тема 6. Анализ результатов расчетов

§ 6.1. Постоптимизационный анализ

§ 6.2. Анализ чувствительности модели

§ 6.3. Чувствительность двойственной модели

В этой главе показаны возможности использования специальных пакетов прикладных программ для решения оптимизационных задач. Приведен интерфейс с пользователем. Рас- смотрено нахождение оптимального решения на компьютере и корректи- рование результатов расчетов.

Г л а в а

5

РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИННЫХ ЗАДАЧ


§ 5.1. Решение задач на компьютере


image

Возможности использования пакета программ

Решение задач экономико-математического моделирования на компьютере невозможно без использования специальных пакетов прикладных программ. В настоящее время, для решения задач линейного программирова- ния наиболее широкое применение получили

интегрированные пакеты программ EXСEL, MAPLE, MATLAB и др. В отличие от них, пакет линейного программирования PLP-2000 for Windows специально предназначен для решения такого типа оптимизационных задач. Этот пакет, реализует усовершенствованную версию алгоритма модифицированного симплекс-метода с мультип- ликативной формой представления обратной матрицы. Основной особенностью данного метода является разбиение процесса итера- ционных вычислений на две отдельные фазы: введения искусствен- ных переменных и нахождения базисного решения; использования двойственных оценок для выбора входящих в базис переменных.

Пакет PLP-2000 дает возможность получать решения не только оптимизационных задач, но также частично-целочисленных и транспортных задач. Он позволяет формулировать и решать задачи линейного программирования, содержащие до 510 ограничений и


2510 переменных с плотностью заполнения матрицы модели до 10 %. При решении частично-целочисленных задач линейного программи- рования имеющих 64 целых переменных, матрица модели может содержать до 255 ограничений и 1255 переменных. Решаемые с помощью этого пакета транспортные задачи, могут содержать до 510 пунктов отправления, потребления и промежуточных пунктов.


image

Запуск пакета прикладных программ

Приступая к решению задачи на компьютере запустите приложение PLP-2000. Для этого, взгляните на Рабочий стол, и если там при- сутствует ярлык PLP-2000, двойной щелчок левой клавиши мышки запустит приложение.

Если ярлыка PLP-2000 нет, перетащите его на Рабочий стол. Если обнаружить ярлыка не удалось, попробуйте найти приложение на каком-либо диске средствами поиска: возможно, ярлык приложения был удален из Главного меню – именно оно раскрывается при щелчке на кнопке Пуск, – а на Рабочем столе и Панели быстрого запуска не создан. Выберите команду Пуск Найти Файлы и папки введите в поле поиска файла или папки имя файла исполняемой программы PLP-2000.EXE. Щелкните на кнопке Найти или нажмите клавишу Enter – результат поиска предоставит необходимую информацию. Если значок PLP-2000 найден, дважды щелкните на нем в этом окне. Запущенное приложение дает ответ на вопрос, установлено ли то, что нужно, но не наверняка, само по себе присутствие исполняемой программы PLP.EXE не дает гарантии правильной работы приложе- ния. В случае необходимости переустановите приложение.

Итак, убедившись в том, что пакет прикладных программ PLP-2000 установлен, а если в процессе работы столкнемся с некорректной его работой, то уже знаем, как переустановить это приложение. Дело в том, что понятие “пакет прикладных программ ”, или “приложение”, вообще-то не исчерпывается исполняемой программой: необходимо наличие всевозможных вспомогательных файлов и записей о взаимодействии с ними в системе Windows.

Практика показывает, что замена приложения путем модерни- зации, а не удаления старой версии новой не всегда безопасна. Если старая версия не содержит ценной информации то ее можно удалить. Еще осторожнее надо относится к переустановке операционной

image

§ 5.1.

Решение задач на компьютере


image


системы. Если это случилось, не исключено, что какие-то приложе- ния придется переустанавливать: изменение состояния взаимодей- ствующих компонент не всегда происходит корректно.



image


Рис. 5.1. Стартовая заставка пакета PLP-2000


Для запуска приложения необходимо двойным щелчком на ярлыке на Рабочем столе, щелкнуть на ярлыке Панели быстрого запуска или щелчком на найденном значке исполняемой программы в окне поиска.


image

Работа с пакетом прикладных программ

После запуска приложения на экране монитора компьютера появляется стартовая заставка пакета линейного программирования PLP-2000 (рис.5.1.). Вслед за этой заставкой, после короткой паузы, на экране монитора

появляется меню выбора численного алгоритма решения оптимиза-


ционной задачи. В качестве одного из выбираемых алгоритмов численного метода при этом могут выступать: алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования, частично- целочисленной задачи и транспортной задачи. Пиктограммы выбора


image

Оптимизационная задача



Целочисленная задача


Транспортная задача


Для построения и решения экономико-математической модели, выберите тот тип задачи который необходим.


Рис. 5.2. Выбор типа решаемых задач пакета PLP-2000


численного метода решения оптимизационных задач расположены в левой нижней части заставки экрана. Для выбора метода решения оптимизационной задачи, необходимо щелкнуть клавишей мышки по пиктограмме одного из выбираемых методов (рис.5.2).

Вслед за этим, на экране монитора появится набор меню приложения. Если окно развернуто (на полный размер экрана), то средняя кнопка в верхнем правом углу экрана будет выглядеть как два пересекающихся квадратика. Если окно свернуто, то средняя кнопка в верхнем правом углу экрана будет выглядеть как нижняя черточка.

102


image


Кнопка с крестиком – это кнопка закрытия окна. Щелчок по этой кнопке закроет соответственно документ или приложение. Работа пакета (рис. 5.3) осуществляется под управлением четырех меню:


MASTER MENU

SETUP MENU EXECUTION MENU OUTPUT MENU


Каждое меню управляет одним из больших этапов решения задачи.


image


Рис. 5.3. Работа пакета PLP-2000 под управлением меню


Головное – (МASTER MENU) управляет выбором других меню, инициализацией симплекс алгоритма или метода ветвей и границ, по- иском проблемного файла старой задачи, запуском командного файла.


Меню установки (SETUP MENU) управляет вводом, редакти- рованием, распечаткой, поиском и запоминанием задач.

Меню выполнения (EXECUTION MENU) доступно в процессе оптимизации и управления ходом вычисления.

Меню вывода (OUTPUT MENU) управляет формированием и выводом таблиц выходных данных и запоминанием текущего базиса в специальных файлах.

Элементы активного и текущего меню представлены на экране в последней строке. Для работы с активными элементами мышка не нужна. Управление всем процессом работы осуществляется с помощью нажатия функциональных клавиш (F1-F10), расположенных на клавиатуре. При необходимости, можно вывести на экран под- сказку, нажав клавишу F10 (HELP). Возврат в головное меню можно осуществить в любое время нажатием клавиши F9 (МASTER MENU). Нажатие клавиши F9 (END SESSION) в головном меню вызывает запрос о подтверждении сеанса работы с пакетом. Учитывая то, что функциональных клавиш управления работой пакета десять, и они используются в четырех меню, поэтому, во избежание ошибок при работе с пакетом нужно следить за состоянием активных элементов.


Краткое повторение


image Модифицированный симплекс-метод более совершенная версия алгоритма симплекс-метода с мультипликативной формой представления обратной матрицы. Его особенностью является разбиение процесса итерационных вычислений на две отдельные фазы: введение искусственных переменных и нахождение базисного решения; использование двойственных оценок для выбора входящих в базис переменных.


image Меню пакета меню выбора предоставляемых пакетом линейного программирования воз- можностей решения оптимизационных задач.


§ 5.2. Интерфейс с пользователем

image

Работа

с экранным редактором

Экранный редактор пакета PLP-2000, является эффективным инструментом для построения и редактирования матриц числовых коэффициентов экономико-математических моделей. В редакторе предусмотрена возможность фрагментирования

матрицы большой размерности, ввода, вывода на экран и корректи- рования числовых моделей. На экран выводится фрагмент матрицы числовых коэффициентов, который включает 10 переменных и 15 ограничений исходной или уже созданной модели. При формировании исходной матрицы модели в (SETUP MENU) следует нажать клавишу F2 (NEW PROBLEM) и ответить на вопросы редактора:

ИМЯ НОВОЙ ЗАДАЧИ? optima ЦЕЛЕВ.Ф-Я (MAX/ MIN)? MAX КОЛИЧ-ВО ОГРАНИЧЕНИЙ? 5

КОЛИЧ-ВО ОСНОВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ? 4.

В случае, когда матрица модели уже была сформирована необходимо вызвать старую задачу, для чего в (SETUP MENU) следует нажать клавишу F6 (OLD PROBLEM) и ответить на вопрос редактора:

ИМЯ СТАРОЙ ЗАДАЧИ? optima.

Вызов редактора осуществляется через (SETUP MENU) клавишей F3 (DISPLAY EDITOR). Вызов отдельного фрагмента матрицы осущест- вляется заданием координаты матрицы (имя строки и имя столбца), которая будет являться началом фрагмента. По умолчанию принима- ются координаты строки – (Y.1) и координаты столбца – (X.1).

По желанию пользователя можно использовать любые шести- символьные имена. Клавиша Page Up смещает фрагмент вверх на 15 строк и Page Down вниз на 15 строк. Смещение на 10 столбцов вправо и влево осуществляется нажатием клавиш Delete и Insert соответствен- но. Клавиша ENTER и перемещения курсора  используются для передвижения по клеткам матрицы выведенного фрагмента.

Клавиши End и Home передвигают курсор на конец и начало выведенного фрагмента.


Для удаления любого из векторов матрицы модели достаточно стереть его имя. Добавление новых векторов возможно только после последнего вектора. Для этого достаточно после последнего вектора матрицы задать новое имя вектора. Матрица модели будет расширена за счет нового вектора.

Для удаления любого из векторов матрицы модели достаточно стереть его имя. Добавление новых векторов возможно только после последнего вектора. Для этого достаточно после последнего вектора матрицы задать новое имя вектора. Матрица модели будет расширена за счет введения нового вектора. Новые целочисленные переменные добавлять нельзя.

Для ввода коэффициентов содержащих более 6 символов, сущест- вует специальный режим редактирования:


image

Формирование матрицы модели

Для трансформации матрицы модели в формат пакета линейного программирования PLP-2000 необходимо учесть некоторые особенности, связанные с компьютерным представлением решаемой задачи. В отличие от канонической

формы записи матрицы модели, представления матрицы в формате пакета PLP-2000 не требует подробной записи произведений число- вых коэффициентов и переменных. Переменные представляются в верхней части матрицы. В левой части матрицы представляются ограничения задачи. В матрицу вводятся только числовые коэффи- циенты. Если числовые коэффициенты положительные, то знак “+” не вводится. Если числовые коэффициенты отрицательные, то они вводятся со знаком “”. В виду того, что знаки неравенства типа и на клавиатуре компьютера отсутствуют, то для их представления в формате пакета используются составные знаки из двух символов

 и . В отличии от канонической формы записи функции цели в


нижней части матрицы целевая функция модели в формате пакета PLP-2000 для удобства записывается вверху. Это в случае необходи- мости во многом упрощает добавления и удаления строк матрицы.

Рассмотрим процедуру построения матрицы модели задачи в формате пакета PLP-2000 на контрольном примере:

2.5 X.1 + 2.6 X.2 + 2.6 X.3 + 2.7 X.4 2700,

1.5 X.1 + 1.3 X.2 + 1.1 X.3 + 1.2 X.4 1200,

27 X.1 + 30 X.2 + 26 X.3 + 32 X.4 32000,

0.6X.1 + 0.7 X.2 + 0.4 X.3 + 0.8 X.4 800, X.1 + X.2 + X.3 + X.4 1000,

16.3X.1 + 17.2 X.2 +15.1 X.3 + 18.4 X.4 max.

Задав ранее размерность матрицы модели и вызвав экранный

(DISPLAY EDITOR) нажатием клавиши F3 в (SETUP MENU), мы


image


Рис. 5.4. Матрица модели в формате пакета PLP-2000


формируем матрицу модели, которая представлена на рис. 5.4. В верхней части экрана приведено название программы, функция цели, количество переменных и ограничений, количество вводимых в модель фиктивных переменных, дата и время выполнения оптимиза- ционных вычислений. В левом углу, в третьей строке выделена клеточка указывающая на то, что задача решается на максимум (MAX). В случае, если целевую функцию этой задачи необходимо решать не на максимум а на минимум, то вместо значения (MAX) на экране следует набрать значение (MIN). Имя целевой функции (RETURN) в строке ниже изменится на (СОST). Вслед за значением целевой функции на экране следуют имена переменных (X.1 – X.4). Если необходимо добавить еще одну переменную, то в строке справа от переменной (X.4) необходимо набрать имя новой переменной. Если необходимо убрать какую-либо переменную, то ее имя в строке необходимо стереть. В правой части строки содержится название вектора ограничений (RHS). Увеличение и сокращение числа строк матрицы производится аналогично. В том случае, если необходимо добавить еще одну строку к тем, что уже имеются (Y.1 – Y.5), то после имени последней строки, следует добавить имя еще одной строки. Если необходимо убрать строку, сотрите имя этой строки в колонке имен.


image

Сохранение матрицы модели

В пакете PLP-2000 предусмотрена возможность сохранения матриц модели. Это особенно важно для задач, матрицы которых, имеют большую размерность и в случае потери файла, нужно будет потратить много времени на их полное

восстановление. Сохранение матрицы модели дает возможность внесения необходимых изменений и дополнений для последующей корректировки задачи. Производится это путем нажатия клавиши F4 в (SETUP MENU), и записи матрицы задачи (SEVE PROBLEM) в отдельный файл раздела (МОИ_МОДЕЛИ). Файл может быть сохранен


ИМЯ ДЛЯ ЗАПОМИН. ЗАДАЧИ?image

optima ИМЯ ЗАПОМИНАЕМ КАК optima (Y/N) ? Y


под тем же именем, как и имя задачи или под новым именем, отли-


чающимся от прежнего имени задачи. Запрашивается имя файла для


ИМЯ ДЛЯ ЗАПОМИН. ЗАДАЧИ? matrix

optima ИМЯ ЗАПОМИНАЕМ КАК matrix (Y/N) ? Y

сохраняемой задачи и подтверждение на сохранение файла. Задача записывается в файл с расширением lp, которое при записи не должно задаваться.


Краткое повторение


image Фрагментирование матрицы модели вывод на экран и корректирование с помощью редактора отдельных фрагментов большой матрицы.


image Трансформация матрицы модели преобразо- вание матрицы модели из канонической формы в формат пакета PLP-2000.


§ 5.3. Нахождение оптимального решения


image

Решение оптимизационной задачи

Запуск оптимизационной задачи на счет осуществляется под управлением (МASTER MENU). В случае необходимости возврата в (МASTER MENU) достаточно нажать клавишу F9 (МASTER MENU). Решение

задачи начинается после нажатия клавиши F2 (SOLVE PROBLEM). На экран выводятся номера параметров, исходные назначения допусков параметров: предел итераций; частота переобращений; допуск по итерации; допуск по допустимости; допуск по приведенной стоимости; допуск по элементам обратной матрицы; экранный


масштаб решения прямой задачи; масштаб решения двойственной задачи; масштаб значения целевой функции; запрос на обращение при завершении; печать всех решений по окончанию; запись базиса по окончанию; запись решения по окончании; распечатка записи


image


Рис. 5.5. Введение задаваемых допусков пакета PLP-2000


опорных точек. В ответ на запрос вводится новое значение (рис. 5.5). В процессе решения задачи текущее меню автоматически за- меняется на меню выполнения, которое высвечивается в строке 25 экрана. Имеется возможность трассировки вычисления по итерациям, прерывания вычисления с запоминанием текущего базиса и т. п. Если задаваемые параметры берутся по умолчанию без изменений, то на


ВВЕДИТ НОМЕР (<ENTER> НА ВЫПОЛЕНИЕ)


image

запрос, который выводится на экран монитора отвечают.



image

Корректирование полученных результатов

После того как результаты решения уже получены, они должны быть тщательно проанализированы, и в случае необходи- мости, в них следует внести требуемые коррективы. Коррективы вносятся не

только в том случае, когда получено НЕДОПУСТИМОЕ РЕШЕНИЕ или

НЕОГРАНИЧЕННОЕ РЕШЕНИЕ, но так же когда РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ.

Если в первых двух случаях внесение необходимых изменений связано с некорректностью постановки модели или ошибками ее формализации, то в случае, когда РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ, это может


image

image

image

image

Имя Решение Дата Время

задачи оптимально

решения решения



Optima РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДАТА 02-15-2004 ВРЕМЯ 09:16


MAXIMUM

ВВОДИМ :

БАЗИС X : 2

ПЕРЕМЕН. :

4

ТОЧЕК :

3

ВЫВОД. :

БАЗИС S : 3

Ф. ПЕР. :

4

ТОЧ. INV :

0

ОЦЕН. 0

RETURN 18400

ОГРАНИЧЕНИЙ:

5

BASIS

S.1

X.4

S.3

S.4

X.3

Значение

РЕШЕН.

0

1000

0

0

0

целевой

ОЦЕН.

0

33

0

0

-21.2

функции


image

Искусственная

Базовая переменная

переменная


Двойственные оценки

Значение базовой переменной


Значение искусственной переменной


Рис. 5.6. Решение контрольного примера задачи оптимизации в формате пакета PLP-2000


быть продиктовано необходимостью дальнейшего улучшения модели. В ходе совершенствования модели в нее могут быть введены дополни- тельные переменные и ограничения, уточнены и скорректированы


нормативные коэффициенты, ограничения и коэффициенты целевой функции. Однокритериальная модель задачи может быть пре- образована в многокритериальную модель.


image

image

Имя Задача решается Количество Общее число

задачи

на максимум

ограничений

переменных



Optima ЦЕЛЕВ. Ф –Я: MAX ПЕРЕМЕН.: 10 ДАТА 02-15-2004

БАЗИС: ОГРАНИЧЕНИЙ: 5 Ф. ПЕР.: 5 ВРЕМЯ 09:16:00 MAX X.1 X.2 X.3 X.4 RHS

Y.1

2.5

2.6

2.6

2.7

Y.2

1.5

1.3

1.1

1.2

Y.3

27

30

26

32

Y.4

.6

.7

.4

.8

Y.5

1

1

1

1

RETURN 16.3 17.2 15.1 18.4

Число искусственных переменных


Коэффициенты целевой функции

0

<= 2700

<= 1200

<= 32000

<= 800

>= 1000


Основные ограничения

Нормативные Ограничения правых

коэффициенты частей матрицы


Рис. 5.7. Матрица модели контрольного примера задачи в формате пакета PLP-2000


На рис. 5.7 представлена матрица контрольного примера. Для изменения значений расчетных величин на основе анализа получен- ных результатов (рис.5.6), могут быть откорректированы ограничения правых частей матрицы модели, значения коэффициентов целевой функции, нормативные коэффициенты затрат. Для внесения соответ- ствующих изменений в матрицу модели необходимо вернуться в (SETUP MENU) и нажатием клавиши F3 вызвать экранный редактор. После этого, необходимо нажать клавишу F9 (МASTER MENU), а вслед за ней клавишу F2 (SOLVE PROBLEM) для получения решения.


image

Вывод результатов решения

на печать

Вывод результатов оптимизационных расчетов на печать, осуществляется под управлением OUTPUT MENU. Меню вывода управляет выводом на печать таблиц выходных данных: решения

прямой задачи; решения двойственной задачи; границ изменения целевой функции; границ изменения ограничений правой части.

Для вывода решения прямой задачи на печать, необходимо в

(OUTPUT MENU) нажать клавишу F1. На печать выдается оптималь-


Optima РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДАТА 02-15-2004 ВРЕМЯ 09:16:00


MAXIMUM

ВВОДИМ:

БАЗИС X: 2

ПЕРЕМЕНН.:

4

ТОЧЕК :

3

ВЫВОД. :

БАЗИС S: 3

Ф.ПЕР .:

4

ТОЧ. INV:

0

ОЦЕН.

0

RETURN 18400

ОГРАНИЧЕНИЙ:

5


BASIS

S.1

X.4

S.3

S.4

X.3

Значение

РЕШЕН.

0

1000

0

0

0

целевой

ОЦЕН.

0

33

0

0

-21.2

функции


image

Базисная переменная


Двойственные оценки


Значение базисной переменной

Искусственная переменная


Значение искусственной переменной



Рис. 5.8. Решение прямой задачи контрольного примера в формате пакета PLP-2000


ное решение задачи контрольного примера (рис. 5.8). В числе расчет- ных значений оптимизируемых величин, выдаются максимизируемое значение целевой функции RETURN, значения базисных переменных

    1. и X.4 , искусственных (фиктивных) переменных S.1, S.3 и S.4, а также двойственные оценки переменных X.3 и X.4. Двойственные оценки показывают, на сколько может измениться величина целевой функции при увеличении значений этих переменных на одну единицу.


      Для вывода решения прямой задачи на печать, следует нажать в

      (OUTPUT MENU) клавишу F1. На печать будет выдана целевая


      Optima

      РЕШЕНИЕ РЕШЕНИЕ

      . . . MAXIMUM RETURN 18400

      ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

      ДАТА 02-15-2004

      ВРЕМЯ 09:16:00

      ПЕРЕМЕН.

      СТАТУС

      ЗНАЧ.

      RETURN/UNIT

      VALUE/UNIT

      NET RETURN

      X.1

      NONBASIS

      0

      16.3

      28.3

      -12

      X.2

      NONBASIS

      0

      17.2

      21.7

      -4.5

      X.3

      BASIS

      0

      15.1

      15.1

      0

      X.4

      BASIS

      1000

      18.4

      18.4

      0

      S.1

      BASIS

      0

      0

      0

      0

      S.2

      NONBASIS

      0

      0

      33

      -33

      S.3

      BASIS

      0

      0

      0

      0

      S.4

      BASIS

      0

      0

      0

      0

      Рис. 5.9. Решение прямой задачи контрольного примера в формате пакета PLP-2000


      функция RETURN, переменные, их статус и значения, представленные на рис. 5.9. Для вывода решения двойственной задачи следует нажать клавишу F2. Будут выведены ограничения правых частей Y.1 Y.5


      Optima

      РЕШЕНИЕ . . . MAXIMUM RETURN 18400

      ДАТА

      02-15-2004

      РЕШ. ДВОЙСТВЕНН. ЗАДАЧИ

      ВРЕМЯ

      09:16:00


      СТРОКА

      СТАТУС

      ДВ. ОЦЕНКИ

      ПР. ЧАСТЬ

      ПОДСТ

      Ф.ПЕР

      Y.1

      NONBINDING

      0

      2700

      2700

      0

      Y.2

      BINDING

      33

      1200

      1200

      0

      Y.3

      NONBINDING

      0

      32000

      32000

      0

      Y.4

      NONBINDING

      0

      800

      800

      0

      Y.5

      BINDING

      -21.2

      1000

      1000

      0

      Рис. 5.10. Решение двойственной задачи контрольного примера в формате пакета PLP-2000


      и двойственные оценки использования ресурсов и значения вводимых в модель искусственных (фиктивных) переменных (рис. 5.10).


      После нажатия клавиши F3 на печать будут выданы граничные значения изменений целевой функции, минимальные и максимальные значения коэффициентов (рис. 5.11). Нажатие клавиши F4, приведет


      Optima

      РЕШЕНИЕ . . . MAXIMUM

      ОБЛАСТЬ ЗН. ЦЕЛ. Ф-ЦИИ

      RETURN 18400

      ДАТА ВРЕМЯ

      02-15-2004

      09:16:00

      ПЕРЕМЕН.

      СТАТУС

      ЗНАЧ.

      RETURN/UNIT

      MINIMUM

      MAXIMUM

      X.1

      NONBASIS

      0

      16.3

      NONE

      28.3

      X.2

      NONBASIS

      0

      17.2

      NONE

      21.7

      X.3

      BASIS

      0

      15.1

      NONE

      18.4

      X.4

      BASIS

      1000

      18.4

      16.15

      NONE

      Рис. 5.11. Границы изменения целевой функции задачи в формате пакета PLP-2000


      к выдаче на печать границ изменения ограничений правой части оптимизационной задачи (рис. 5.12).


      Optima

      РЕШЕНИЕ . . . MAXIMUM

      ОБЛАСТЬ ЗН. ПРАВ. ЧАСТИ

      RETURN 18400

      ДАТА ВРЕМЯ

      02-15-2004

      09:16:00

      СТРОКА

      СТАТУС

      ДВ. ОЦЕНКИ

      ПР. ЧАСТИ

      MINIMUM

      MAXIMUM

      Y.1

      NONBINDING

      0

      2700

      2700

      NONE

      Y.2

      BINDING

      33

      1200

      1100

      1200

      Y.3

      NONBINDING

      0

      32000

      32000

      NONE

      Y.4

      NONBINDING

      0

      800

      800

      NONE

      Y.5

      BINDING

      -21.2

      1000

      NONE

      1000

      Рис. 5.12. Границы изменения ограничений правой части задачи в формате пакета PLP-2000


      Краткое повторение

      image Устанавливаемые допуски допуски, которые устанавливаются для пакета линейного програм- мирования PLP-2000, при решении оптимиза- ционных задач.


      image Корректирование результатов расчетов внесение в матрицу модели необходимых изменений и дополнений, на основании анализа полученных результатов.




      ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ


      корректирование результатов расчетов меню пакета линейного программирования модифицированный симплекс-метод


      устанавливаемые допуски фрагментирование матрицы модели трансформация матрицы модели


      Контрольные вопросы и задания

      ?

      1. Возможности использования пакета PLP-2000.

      2. Запуск пакета прикладных программ.

      3. Работа с пакетом прикладных программ.

      4. Работа с экранным редактором.

      5. Формирование матрицы модели.

      6. Сохранение матрицы модели.

      7. Решение оптимизационной задачи.

      8. Корректирование полученных результатов.

      9. Вывод результатов решения на печать.

      10. Решите контрольный пример с помощью PLP-2000.

В этой главе представлен постоптими- зационный анализ решения задач. Дана экономическая интерпретация значений двойственных оценок. Проведен анализ чувствительности моделей, исследова- на устойчивость оптимального решения. Построена двойственная модель и про- анализированы результаты решения.

Г л а в а

6

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ


§ 6.1. Постоптимизационный анализ


image

Интерпретация оценки ресурсов

Каноническая форма задач линейного програм- мирования дает возможность экономической интерпретации значения двойственных оценок переменных. Для каждой задачи линейного программирования можно построить, симмет-

ричную ей двойственную задачу. Получаемые значения оптимальных решений обоих задач совпадают. Вместе с тем, если в прямой задаче они отражают наиболее эффективную комбинацию использования ресурсов, которая дает максимум целевой функции, то в двойственной задаче – наиболее эффективную комбинацию расчетных цен (оценок) ограниченных ресурсов. Хотя и принято считать прямой задачу решаемую на максимум получаемой прибыли, а двойственной – на минимум затрат, на самом деле эта формулировка достаточно условна, так как обе задачи абсолютно равноправны, любую из них можно принять за прямую и построить к ней двойственную.

Значение полученных при этом оценок состоит в том, что они служат эффективным инструментом нахождения решения основной задачи. Оценки показывают влияние веденных в ограничения модели дополнительных переменных на оптимизируемую величину целевой функции. Иначе говоря, они показывают относительный вклад ресурса в достижения необходимого оптимума. В силу того, что в


процессе производства продукции может использоваться не один ресурс, а несколько различных ресурсов, то двойственные оценки могут применяться для определения приоритета использования ресурсов в соответствии с их вкладом в величину целевой функции. Пусть некоторая дополнительная переменная s i , ограничения i является не базисной в точке оптимума, а само ограничение имеет вид


n

aij x j si bi ,

j 1


image

i 1, m.


(6.1)

Так как s i вне базиса равна нулю, то данное исходное ограничение можно рассматривать как равенство в точке оптимума, т.е.


n

aij x j j 1


bi ,


image

i 1, m.


(6.2)

Теперь, по определению относительная оценка этой не базисной переменной – это величина, на которую может возрасти целевая функция при увеличении этой переменной на единицу. Равенство


n

aij x j j 1


bi 1,


image

i 1, m;


(6.3)

(6.1) – (6.2) показывает, что ресурс вида i потребляется весь полностью. Увеличив правую часть равенства (6.2) на единицу и преобразовав это равенство, мы получим равенство вида в котором


n

aij x j (1) bi ,

j 1


image

i 1, m;


(6.4)

переменная s i принимает значение равное

(1) . Эта переменная

показывает, какая часть ресурса не используется.

Относительна оценка переменной s i дает величину прироста целевой функции на единицу увеличения ресурса вектора ограниче- ний. Так как bi представляет объем ресурса, то относительная оценка представляет собой относительную ценность единицы дополнительно- го ресурса. Эти относительные оценки являются маргинальными оценками в том смысле, что они действительны лишь при таком

диапазоне изменения величины ресурсов

bi , когда текущий базис


остается оптимальным. Так как решение оптимально, то относительная оценка будет положительной (не отрицательной), и поэтому целевая функция должна уменьшаться, если дополнительная переменная воз- растает, и возрастать, если дополнительная переменная уменьшается. Избыточность ресурса на единицу (bi+1) в правой части равенств модели рис. 6.1 приводит к тому, что в базис вводится свободная



image

bi+1



базисные переменные

не базисная переменная

image

ограничения правых частей



технологические

X1 X2 X3 Xn+1 bi

коэффициенты затрат ресурсов

a11 a12 a13 a1n+1

a11 a22 a23 a2n+1

=b1 +1

=b2 ,


коэффициенты

a.31

..

a32

a33 .

..

a3n+.1

..

.

=b3 ,

..

целевой функции


Cj

am1 am2 am3 ... amn


c1 c2 c3 cn

=bm.


max

n

c j x j c j 1 x j 1 j 1


image


Рис. 6.1. Баланс использования ресурсов


переменная с не отрицательным значением. Однако существует некоторый предел эффективности увеличения запасов ресурсов, определяемый технологической структурой модели. В этом случае


image

нужно ожидать нулевого значения увеличения прибыли, поскольку увеличение заведомо избыточного ресурса не может увеличить прибыль. Именно такая ситуация и имеет место поскольку в базис вводится свободная переменная, с нулевым коэффициентом c j1 x j1 .


Маргинальные оценки переменных

Оценки ресурсов, связаны скорее с вводимыми в модель ограничениями, а не с переменными. Они показывают относительный вклад каждого ресурса в достижение необходимого оптимума.

Тем не менее, они не редко используются для вычисления оценочных или стоимостных показателей, связанных с переменными прямой задачи.

Рассмотрим пример. Для загрузки печей по выплавке стали, комбинату требуется 1200 тонн железной руды. Поставка железной руды осуществляется горнодобывающим комбинатом, поставляющим руду всем предприятиям отрасли. Железная руда поставляется по цене 110 грн. за одну тонну. Ограничение по переработке железной руды может быть записано в модели в следующем виде


n

aij x j si 1200, (6.5)

j1

image

где si это дополнительная переменная. Пусть

si имеет относитель-

ную оценку, равную 12 грн. за тонну в оптимальном решении, Что

это означает? Оценка ресурса железной руды равна 12 грн. за тонну, но это вовсе не означает, что мы должны были бы заплатить только

12 грн. за каждую дополнительную тонну железной руды. Это означает, что за возможность получить дополнительный объем этой руды мы должны быть готовы заплатить еще по 12 грн. за тонну при условии, что эти последующие поставки будут осуществляться по цене 122 грн. за тонну; т.е. целевая функция будет увеличиваться на 12 грн. за каждую дополнительную тонну, которая будет получена по цене 110 грн. за тонну уже учтенной в целевой функции.

Это означает, что мы должны быть готовы к повышению цены до 110+12=122 грн. за тонну за дополнительную поставку железной руды. Заметим, что 122 грн. за тонну – это равновесная цена, при которой мы будем увеличивать нашу целевую функцию, если будем покупать железную руду по более дешевой цене, чем эта; будем


уменьшать нашу целевую функцию если будем покупать за большую цену, и сохраним целевую функции неизменной, если платить только по 122 грн. за тонну.

Маргинальная оценка переменной

image

x

j

может быть получен за каждую единицу ресурса, поставленного сверх существующего лимита, и равна оценке ресурса, т. е. двойственной переменной того условия задачи, которое ограничивает количество имеющегося ресурса. Маргинальная оценка остается постоянной только в пределах некоторой окрестности существующего оптимума, внутри которой текущий базис остается оптимальным как при увели- чении, так и при уменьшении объема ресурсов (объема поставок).

Относительную оценку, которая отвечает не базисной переменной, равной своей нижней границе, часто рассматривают как чистый эффект этой переменной. Если принимая решение (неоптимальное) увеличить не базисную переменную, равную своей нижней границе, то эта относительная оценка показывает уменьшение значения целевой функции на единицу увеличения переменной (до некоторых пределов). Здесь относительные оценки указывают на эффект (убыток), обусловленный отклонением от оптимального решения.


image

Диапазон изменения параметров

Постоптимизационный анализ результатов по- лученных решений – наиболее важный этап экономико-математического моделирования. Вызвано это тем, что большая часть параметров задачи линейного программирования точно не

известна, и на практике обычно берутся приближенные значения, которым должны быть равны эти параметры. В этой связи неизменно возникает интерес к определению таких диапазонов изменения этих параметров, в которых оптимальное решение остается оптимальным в том смысле, что не изменяется базис.

Рассмотрим три типа параметров: коэффициенты целевой

функции c j ,

компоненты вектора ограничений bi

и коэффициенты

матрицы

aij .

Изменение коэффициентов целевой функции

Не базисная переменная. Изменение коэффициентов целевой функции не базисной переменной влияет на относительную оценку только этой переменной.


Пример. В экономико-математической модели производственно-

го процесса переменная

x j представляет собой количество некоторого

выпускаемого продукта, который может быть продан по цене 110 грн./шт. ( c j 110 грн./шт.). В оптимальном решении эта перемен- ная не базисная ( x j 0), и ее относительная оценка равна 1,20 грн./шт. Таким образом, если цена возрастет до 110 +1,20 = 111,20 грн./шт.,

относительная оценка станет равной нулю, и дальнейшее увеличение цены приведет к отрицательной относительной оценке. Это означает, что текущее решение перестанет быть оптимальным. В таком случае

выгодно производить продукт, представленный переменной Следовательно, цена 111,20 грн. /шт. – это равновесная цена для

x j .

x j ;

при любой более низкой цене оптимальное решение будет состоять

в том, чтобы совсем не производить этот продукт ( x j

останется не

базисным), а при более высокой цене выгодно ввести x j

в базис.

Для не базисной переменной диапазон устойчивости, в котором c j может меняться так, чтобы текущее решение оставалось оптималь- ным, задается выражением c j cj , где cj – относительная оценка

переменной x j

отвечающая оптимальному решению.

Базисная переменная. Изменение коэффициентов целевой

функции базисной переменной влияет на относительные оценки не базисных переменных. Следует отметить, что вводя в решение некоторый технологический способ производства (т. е. делая соответ- ствующую ему переменную базисной), мы увеличиваем уровень его использования. Это равносильно наиболее полной реализации всех потенциальных возможностей, связанных с получением прибыли от данного вида производственной деятельности. Любое дальнейшее повышение уровня его использования приведет к тому, что оценка ресурсов превысит прибыль. Очевидно, что с точки зрения оптими- зации результатов решения такая попытка бесперспективна.

Существует диапазон изменения

c j коэффициентов целевой

функции как базисных, так и не базисных переменных, в котором

текущее оптимальное решение остается оптимальным. Для не базис- ных переменных существует только верхняя граница диапазона

изменения

c j ; для базисных переменных обычно существуют и

нижняя, и верхняя границы. При значении коэффициентов целевой

функции, выходящей за пределы диапазона, текущее оптимальное решение становится неоптимальным, так как появится не базисная переменная с отрицательной относительной оценкой.

Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной


приводит к изменению значения целевой функции.

Эффективность от изменения коэффициентов целевой функции можно рассматривать с двух позиций: с точки зрения сбыта нас интересуют равновесные цены; с точки зрения производства нас интересует диапазон изменения коэффициентов целевой функции, в пределах которого текущий оптимальный план (представленный текущим базисом) остается оптимальным.

Изменение ограничений правых частей

Рассмотрим влияние изменения

bi bi  bi для некоторого

1 i m.

Обычно принято рассматривать случай, когда компонента

bi является правой частью ограничений-неравенств, в которые введена дополнительная переменная. Определим такой диапазон изменения bi , в котором текущее решение остается оптимальным. В этом случае, можно рассматривать соответствующую искусственную переменную как неотрицательную дополнительную (которая должна быть не базисной в допустимом решении).

Базисная дополнительная переменная. Если дополнительная переменная ограничения i базисная, то это ограничение не является активным в точке оптимума. Анализ значения дополнительной базис-

ной переменной дает диапазон изменения, в котором компонента bi

уменьшается (увеличивается в случае ограничения типа ). Решение остается допустимым и оптимальным в диапазоне b b .

i i

Не базисная дополнительная переменная. Если дополнительная

переменная не базисная и равна нулю, то исходное ограничение- неравенство активно в точке оптимума. На первый взгляд может показаться, что так как это ограничение активное, отсутствует возможность значения правой части такого ограничения, в частности

возможность уменьшения значения

bi (для ограничений типа

).

Оказывается, что изменяя вектор ограничений, мы меняем также

bi ,

а так как существует диапазон, в котором решение остается еще

оптимальным, в том смысле, что не меняется базис.


Изменение коэффициентов матрицы модели

Коэффициенты

aij ,

как правило, известны с большей достовер-

ностью, чем коэффициенты целевой функции или ограничения правых

частей матрицы модели. Они обычно задаются технологическими коэффициентами зависимости затрат и выпуска продукции и не под- вержены так сильно рыночным изменениям, как цены или ресурсы.


Краткое повторение


image Двойственные оценки это оценки ресурсов, продуктов, работ, которые вытекают из условий решаемой оптимизационной задачи. Будучи элементами двойственной задачи линейного программирования, они показывают, насколько изменится значение критериев оптимальности в соответствующей прямой задаче при прира- щении этого ресурса на единицу (т. е. имеют предельный характер).


image Избыточный ресурс это ресурс, увеличение количества которого, не дает прироста величены получаемой прибыли.


image Равновесная цена это граничная цена, при которой целевая функция будет увеличивается если потребляемый ресурс приобретается по более низкой цене, и уменьшается, если цена на ресурс будет возрастать.


§ 6.2. Анализ чувствительности модели


image

Устойчивость оптимальных решений

Использование двойственных оценок особенно эффективно при анализе моделей на чустви- тельность. Решение оптимизационной задачи должно дать менеджеру, необходимую опера- тивную информацию относительно принятия

наиболее эффективных решений. Как только условия, при которых вырабатывалось решение, и была построена модель, изменились,


информация, полученная в результате решения задачи, обычно теряет свою актуальность. Анализ модели на чувствительность как раз и связан с исследованием возможных изменений полученного оптими- зационного решения в результате изменения исходной модели. Это дает возможность ответить на вопрос, в каком интервале можно варьировать входными параметрами без существенного отклонения от найденного оптимума и без значительного нарушения структуры базиса, формирующего оптимальное решение.


image

Модель выбора оптимальной технологии

Необходимо выбрать такие технологические способы производства продукции, при которых достигаются минимальные затраты и выполняется план по производству продукции при заданных ресурсах. Для построения модели выбора оптимальной

технологии введем следующие обозначения:


k вид производимой продукции;

Pk план производства продукции вида k; s вид выделяемых ресурсов;

i число видов производимой продукции;

m число видов выделяемых ресурсов; bs количество выделяемых ресурсов s; j вид технологий;

n число видов технологий;

c j затраты на производство единицы продукции с использо- ванием технологии вида j;

a jk количество производимой продукции вида k с использо- ванием технологии j;

bsj количество потребляемых ресурсов вида s при использо- вании технологии j;

x j интенсивность использования технологии j.


Математическая модель. Определить интенсивность использо-

вания технологий x j

при которых достигается минимум затрат

n

c j x j min,

j1

выполняется план производства

n

akj x j Pk ,

j 1

используются выделяемые ресурсы

n

bsj x j bs ,

j 1

при условии неотрицательности переменных

x j 0 ,


image

n 1,l;


image

s 1, m;


image

j 1, n.

(6.6)


(6.7)


(6.8)


(6.9)


image

Задача выбора оптимальной технологии

Предприятия отрасли выпускают два вида продукции. Производство продукции осуществляется с использованием двух технологических способов, которые отли- чаются один от другого разными нормами затрат ресурсов и выпуска продукции.

Нормы затрат ресурсов и выпуска продукции по каждой из исполь- зуемых технологий и стоимостные затраты приведены в табл. 6.1.


Таблица 6.1

Нормы затрат ресурсов и выпуска продукции


Номер технологии

Норма потребления ресурсов

Норма выхода продукта

Затраты млн грн. с j

s=1

s=2

s=3

k=1

k=2

j=1

2,5

1,5

1,5

5,0

30,0

7,0

j=2

1,5

0,4

4,0

4,0

6,0

8,0


Планом производства продукции предусмотрено изготовить:

продукции первого вида

P1 200 ед. и продукции второго вида

P2 660 ед. Объем выделяемых ресурсов при этом, составляет:

b1 97 ед.,

b2 54 ед.,

b3 100 ед. Матрица модели выбора



матрица технологических коэффициентов

image


Y1

Х1


2.5


+

Х2


1.5



97

Y2

1.5

+

0.4

54

Y3

1.5

+

4

100

Y4

5

+

4

200

Y5

30

+

62

660

переменные ограничения правых частей


уравнения


коэффициенты целевой функции


7 + 8


min


Рис. 6.2. Матрица модели выбора оптимальной технологии


оптимальной технологии представлена на рис. 6.2. Матрица модели включает два вектор-столбца, пять уравнений, ограничения правых частей и целевую функцию решаемую на минимум затрат.


image

Решение задачи оптимального выбора технологий

Анализ результатов расчетов показывает, что величина минимизуемых затрат на производство продукции COST составит

298 млн грн. Величина интенсивности значения искомых переменных при этом составит X.1 = 34 (для первого вида

продукции) и X.2 = 7,5 (для второго вида продукции). Для введенных в модель искусственных переменных, эта величина будет соответст- венно равна: S.1 = 0.75, S.2 = 0, S.3 = 19, S.4 = 0 и S.5 = 885. Значения


дополнительных (искусственных) переменных (рис. 6.3) показывают, что при этом, будет получена экономия 0,75 ед. ресурсов первого вида и 19 ед. ресурсов второго вида. План производства продукции второго вида продукции будет перевыполнен на 885 ед. В целом же будет выпущено: продукции первого вида – 200 ед. и продукции второго вида – 1485 ед.


ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ ... MINIMUM

COST

298

ДАТА

02-23-2004

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

ВРЕМЯ

22:44:29


ПЕРЕМЕН.

СТАТУС

ЗНАЧ.

COST /UNIT

VALUE/UNIT

NET COST

X.1

BASIS

34

7

7

0

X.2

BASIS

7.5

8

8

0

S.1

BASIS

.75

0

0

0

S.2

NONBASIS

0

0

-3

3

S.3

BASIS

19

0

0

0

S.4

NONBASIS

0

0

-2.3

2.3

S.5

BASIS

885

0

0

0


Рис. 6.3. Решение прямой задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000


Для анализа оптимизационного решения на чувствительность, рассмотрим результаты решения двойственной задачи (рис.6.4).


ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ ... MINIMUM

COST 298

ДАТА

02-23-2004

РЕШ. ДВОЙСТВЕНН. ЗАДАЧИ

ВРЕМЯ

22:44:31


СТРОКА

СТАТУС

ДВ. ОЦЕНКИ

ПР. ЧАСТЬ

ПОДСТ

Ф.ПЕР

Y.1

NONBINDING

0

97

96.25

.75

Y.2

BINDING

-3

54

54

0

Y.3

NONBINDING

0

100

81

19

Y.4

BINDING

2.3

200

200

0

Y.5

NONBINDING

0

600

1485

-885


Рис. 6.4. Решение двойственной задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000


Двойственные оценки показывают, что увеличение объема использования ресурса второго вида на 1 ед., приведет к уменьшению значения целевой функции на 3 ед. В то же время, увеличение выпуска продукции первого вида на 1 ед, приведет к увеличению значения целевой функции на 2,3 ед.

В анализе чувствительности модели очень важно выяснить в каких пределах могут варьировать коэффициенты целевой функции при условии, что это решение будет оставаться оптимальным. Результаты расчетов, представленные на рис. 6.5 показывают, что


ПРИМЕР РЕШЕНИЕ ... MINIMUM

COST 298

ДАТА

02-23-2004

ОБЛАСТЬ ЗН. ЦЕЛ. Ф-ЦИИ

ВРЕМЯ

22:44:32


ПЕРЕМЕН.

СТАТУС

ЗНАЧ.

COST /UNIT

MINIMUM

MAXIMUM

X.1

BASIS

34

7

NONE

10

X.2

BASIS

7.5

8

5.6

NONE


Рис. 6.5. Границы изменения целевой функции задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000


нижней границы для изменения коэффициента целевой функции базисной переменной X.1 нет. Верхнее граничное значение коэффи- циента целевой функции этой переменной определяется числом 10.


ПРИМЕР РЕШЕНИЕ

... MINIMUM

COST 298

ДАТА

02-23-2004

ОБЛАСТЬ

ЗН. ПРАВ. ЧАСТИ

ВРЕМЯ

22:44:34


СТРОКА

СТАТУС

ДВ. ОЦЕНКИ

ПР. ЧАСТИ

MINIMUM

MAXIMUM

Y.1

NONBINDING

0

97

96.25

NONE

Y.2

BINDING

-3

54

48.57143

55.2

Y.3

NONBINDING

0

100

81

NONE

Y.4

BINDING

2.3

200

180

202.4

Y.5

NONBINDING

0

600

NONE

1485


Рис. 6.6. Границы изменения ограничений задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000


Напротив, нижнее граничное значение коэффициента целевой функ- ции переменной X.2 определяется числом 5,6. Верхнее граничное значение этого коэффициента не задано.

Проанализируем теперь, остается ли решение оптимальным, если изменятся значения ограничений правой части матрицы модели. Для этого необходимо рассмотреть граничные значения ограничений задачи выбора технологий представленные на рис. 6.6. Результаты расчетов показывают, что нижнее граничное значение объема ресурса первого вида составляет 96,25 ед. Верхнее значение его объема не ограничено. Для ресурса второго вида нижнее граничное значение объема равняется 48,57143 ед. Верхнее граничное значение равно 55,2 ед. Увеличение использования этого ресурса с 54 ед. на одну ед., приведет к снижению затрат на 3 млн грн. Нижняя граница исполь- зования ресурса третьего вида составляет 81 ед. Верхнее значение его объема не ограничено. Нижняя граница выпуска продукции первого вида численно равняется 180 ед., верхняя 202,4 ед. Увеличение выпуска этой продукции с уровня 200 ед. на одну ед. приведет к увеличению затрат на 2,3 млн грн. Нижняя граница выпуска продукции второго вида не установлена. Верхняя граница выпуска равняется 1485 ед.


Краткое повторение


image

Устойчивость оптимального решения условие, при котором изменение коэффициентов целевой функции, ограничений правой части и технологи- ческих коэффициентов не приводит к изменению оптимальности решения.


image Интервал изменения параметров пределы варьи- рования входными параметрами модели без существенного отклонения от оптимума и без значительного нарушения структуры базиса, формирующего оптимальное решение.


§ 6.3. Чувствительность двойственной модели


image

Двойственная модель выбора технологий

Представленные выше методы оценки чувствительности моделей, хотя и являются эффективным средством исследования устойчивости оптимизационных решений, но носит несколько ограниченный характер.

Понятно, можно было бы разработать методы анализа, позволяющие произвести оценку чувствительности оптимизационных моделей по отношению к вариациям коэффициентов aij с тем, чтобы определить, насколько “выгодно” дополнить базис новой переменной, а также выяснить, в какой степени изменится решение, если ввести дополни- тельные ограничения. Однако в теории линейного программирования существует понятие двойственности, которое позволяет унифициро- ванным образом установить взаимосвязи для всех приемов и методов

анализа чувствительности моделей.

Рассмотрим это на примере двойственной модели выбора технологий. Для построения двойственной модели оптимального

выбора технологий введем дополнительные обозначения: ресурса s; vk оценка продукции k.

us оценка

Математическая модель. Найти такие оценки us и vk , при

которых достигается максимум целевой функции

l m

Pk vk bsus max

(6.10)

k 1

s1

и выполняются условия ограничений

l m

image

ajkvk bsjus c j ,

j 1, n;

(6.11)

k 1

s 1

и неотрицательности переменных


image image

vk 0;

us 0;

k 1,l;

s 1, m.

(6.12)


Дифференциальные затраты получаются из двойственной задачи выбора технологии при условии, что по каждой из технологий производится только один какой-либо продукт.


m

vk ck bsj us

s1


image

k 1, l.


(6.13)

Двойственные (объективно обусловленные) оценки

1 m l

image

vk

a

c j bsj us akjvk . (6.14)

kj

s1

k 1

Дифференциальные затраты и двойственные оценки показывают оценку продукции с учетом дефицитности ресурсов.


image

Двойственная задача выбора технологий

Матрица двойственной задачи оптимизации выбора технологий включает в себя пять вектор-столбцов, два уравнения-ограничения и целевую функцию. Ограничениями правой части матрицы модели выступают затраты на

производство продукции двух видов (рис. 6.7). Коэффициентами целевой функции является планируемый объем выпуска продукции



image

матрица

т


переменные


ограничения

ехнологических правых

коэффициентов

частей



уравнения

X1 X2

коэффициенты целевой функции

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5


5 + 30 2.5 1.51.5 7

4 + 6 1.5 0.44 8

200 + 660 – 97 – 54 – 100

max


Рис. 6.7. Матрица двойственной модели выбора технологий


(переменными которой служат Y.1 и Y.2), и ограничения объема использования ресурсов (переменными которой выступают Y.3 Y.5).


Технологические коэффициенты затрат и выпуска продукции взяты те же, что и в предыдущей задаче. Матрица модели двойственной задачи выбора технологии была построена по известному правилу трансформации исходной задачи в двойственную задачу. Теория двойственности имеет место в том случае, когда прямая и двойствен- ная матрицы модели записаны в каноническом виде. В этой связи необходимо придерживаться приведенных выше правил.


Исходная задача

Двойственная задача

Минимизация

Максимизация

Константы в правых частях ограничения

Целевая функция

Целевая функция

Константы в правых частях ограничения

столбец j составленный из коэффициентов при неизвестных в ограничениях

строка i составленная из коэф- фициентов при неизвестных в ограничениях

строка i составленная из коэф- фициентов при неизвестных в ограничениях

столбец j составленный из коэффициентов при неизвестных в ограничениях

неотрицательная переменная j

неравенство i вида

переменная j, не имеющая ограничений в знаке

соотношение i в виде равенства

неравенство i вида

неотрицательная переменная j

соотношение i в виде равенства

переменная j, не имеющая ограничений в знаке


image

Решения двойственной задачи

Решение двойственной задачи оптимального выбора технологии, дало возможность получения результатов идентичных решению прямой задачи. Максимизация значения целевой функции RETURN, позволила получить

прибыль в размере 298 млн грн., что целиком соответствует величине минимизируемых затрат целевой функции COST исходной, прямой


задачи (рис. 6.3). Модули значений базисных (BASIS) переменных Y.1 и Y.4 результатов решения двойственной задачи (рис. 6.7) соответ- ствуют значениям двойственных оценок прямой задачи (рис.6.3). Значения найденных переменных величин X.1 и X.2 соответствуют


ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ ... MAXIMUM RETURN 298

ДАТА 02-23-2004

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

ВРЕМЯ 22:44:36


ПЕРЕМЕН.

СТАТУС

ЗНАЧ.

RETURN/UNIT

VALUE/UNIT

NET RETURN

Y.1

BASIS

2.3

200

200

0

Y.2

NONBASIS

0

660

1065

-405

Y.3

NONBASIS

0

-97

-96.25

-.75

Y.4

BASIS

3

-54

-54

0

Y.5

NONBASIS

0

-100

-81

-19

S.1

NONBASIS

0

0

34

-34

S.2

NONBASIS

0

0

7.5

-7.5


Рис. 6.8. Решение прямой задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000


полученным двойственным оценкам решения двойственной задачи

(рис. 6.9.). Анализ границ изменения целевой функции задачи выбора


ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ ... MAXIMUM

RETURN

298

ДАТА 02-23-2004

РЕШ. ДВОЙСТВЕНН. ЗАДАЧИ

ВРЕМЯ 22:44:38


СТРОКА

СТАТУС

ДВ. ОЦЕНКА

ПР. ЧАСТЬ

ПОДСТ

Ф.ПЕР

X.1

BINDING

34

7

7

0

X.2

BINDING

7.5

8

8

0


Рис. 6.9. Решение двойственной задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000


оптимальной технологии показывает, что коэффициент целевой функции переменной Y.1 = 200 ед, может варьировать в пределах от 180 ед. до 202.4 ед. Значение переменной Y.4 = – 54 ед., может варьиро- вать в пределах от – 54.2 до – 48.57143 ед. Для переменных Y.2, Y.3 и Y.4


нижней границы значения переменной не установлено. Предельные значения этих переменных составляют: Y.2 = 1065 ед., Y.3 = 96,25 ед. и Y.4 = 48,57143 ед. (рис. 6.9). На рис. 6.10 показаны границы изменения ограничений двойственной задачи, которые соответствуют изменению границ целевой функции исходной задачи (рис. 6.5).



ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ ... MAXIMUM

RETURN 298

ДАТА 02-23-2004

ОБЛАСТЬ ЗН. ЦЕЛ. Ф-ЦИИ

ВРЕМЯ 22:44:40


ПЕРЕМЕН.

СТАТУС

ЗНАЧ.

RETURN/UNIT

MINIMUM

MAXIMUM

Y.1

BASIS

2.3

200

180

202.4

Y.2

NONBASIS

0

660

NONE

1065

Y.3

NONBASIS

0

-97

NONE

-96.25

Y.4

BASIS

3

-54

-55.2

-48.57143

Y.5

NONBASIS

0

-100

NONE

-81


Рис. 6.10. Границы изменения целевой функции задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000



ПРИМЕР

РЕШЕНИЕ ... MAXIMUM

RETURN 298

ДАТА 02-23-2004

ОБЛАСТЬ ЗН. ПРАВ. ЧАСТИ

ВРЕМЯ 22:44:42


СТРОКА

СТАТУС

ДВ. ОЦЕНКА

ПР. ЧАСТЬ

MINIMUM

MAXIMUM

X.1

BINDING

34

7

NONE

10

X.2

BINDING

7.5

8

5.6

NONE


Рис. 6.11. Границы изменения ограничений задачи выбора оптимальной технологии в формате пакета PLP-2000


image

Модель оптимальной сложности

При построении моделей и выполнении оптимизационных расчетов возникает не- обходимость введения в модель дополни- теных ограничений после того, как уже получено предварительное решение для

первоначальной модели. Необходимость введения в модель дополни- тельных ограничений возникает после анализа полученного оптими-


зационного решения. В ряде других случаев некоторые ограничения, имевшие место в первоначальной формулировки задачи, сознательно опускаются чтобы упростить процесс получения решения. Опыт показывает, что сложности получения оптимального решения воз- ростают пропорционально кубу числа ограничений. Устанавливая ограничения для исходной модели, нужно быть осмотрительным. Нередко заведомо известно, что некоторые из ограничений лишь в незначительной степени влияют (либо не влияют вообще) на полу- чаемое оптимальное решение. Такие ограничения (иногда их называют второстепенными) учитываются по мере необходимости на последующих этапах анализа.

Проверка выполнимости добавочного условия при известном решении исходной задачи представляет собой простейший случай анализа модели на чувствительность. Для этого достаточно под- ставить оптимальные значения управляемых переменных в дополни- тельное условие и проверить, выполняется ли это условие.

В некоторых случаях целесообразность введения дополнительно- го ограничения можно проверить на введении в двойственную модель нового технологического способа производства. Новый вид производ- ственной деятельности можно ассоциировать с такой не базисной переменной исходной модели, которая первоначально имеет нулевые коэффициенты в целевой функции. Значения соответствующих коэффициентов нового вида производственной деятельности будут представлять изменения относительно исходного нулевого значения.


Краткое повторение


image Правило трансформации правило преобразова- ния задачи линейного программирования в двойственную задачу и наоборот в исходную.


image Модель оптимальной сложности модель, матрица которой содержит необходимое количество вектор-столбцов и ограничений.



ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ


двойственные оценки избыточный ресурс

модель оптимальной сложности правило трансформации


равновесная цена

устойчивость оптимального решения чувствительность модели


Контрольные вопросы и задания

?

  1. Интерпретация оценки ресурсов.

  2. Маргинальные оценки переменных.

  3. Диапазон изменения параметров.

  4. Устойчивость оптимальных решений.

  5. Модель выбора оптимальной технологии.

  6. Задача выбора оптимальной технологии. Ее решение.

  7. Двойственная модель выбора технологий.

  8. Двойственная задача выбора технологий. Ее решение.

  9. Модель оптимальной сложности.

  10. Решите примеры задач с помощью PLP-2000.


image


Часть IV

Моделирование оптимального распределения ресурсов


image


* Тема 7. Моделирование загрузки мощностей

§ 7.1. Оптимизация загрузки оборудования

§ 7.2. Оптимизация загрузки оборудования цеха

§ 7.3. Оптимизация загрузки оборудования предприятия

* Тема 8. Моделирование распределения ресурсов

§ 8.1. Оптимальное распределение ресурсов

§ 8.2. Распределение ресурсов внутри цеха

§ 8.3. Распределение ресурсов на предприятии

image

В этой главе рассмотрены вопросы оптимизации загрузки производст- венных мощностей промышленных предприятий. Основное внимание в ней уделено практическому решению задач оптимизации загрузки оборудо- вания цеха и предприятия в целом. Дан анализ результатов полученных оптимизационных решений.

Г л а в а

7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАГРУЗКИ МОЩНОСТЕЙ


§ 7.1. Оптимизация загрузки оборудования


image

Загрузка производственных мощностей

Эффективность работы предприятия на нынешнем этапе, количество выпускаемой продукции, ее качество и ассортимент неизменно зависят от уровня загрузки производственных мощностей, степени и

порядка использования технологического оборудования. Важность решения этой задачи, ее практическая значимость определяются как ограниченностью производственных мощностей предприятий, так и возможностью разного использования технологического оборудова- ния. Это означает, что эффективность производства определяется не только количеством имеющихся станков и технологических линий, но и выбором наиболее рационального варианта их загрузки при выполнении отдельных работ.

Задача оптимизации загрузки оборудования может решаться в двух постановках: для взаимозаменяемых групп оборудования и незаменяемых групп оборудования. Выбор одного из вариантов построения экономико-математической модели зависит от универса- льности используемого технологического оборудования. Для цехов предприятий оснащенным большим количеством универсальных


станков, которые отличаются высоким уровнем взаимозаменяемости при выполнении ряда технологических операций, необходима модель оптимизации загрузки взаимозаменяемых групп оборудования. Приме- нение этой модели дает возможность для нахождения оптимального варианта перераспределения работ между отдельными видами и группами оборудования, между производственными подразделения- ми предприятия.

В поточном производстве, где используется специальное и специализированное технологическое оборудование, операции жестко закреплены за отдельными станками. В силу этого, оборудование не взаимозаменяемо и группируется в порядке последовательности выполнения технологических операций. Для такого типа производства следует использовать модель оптимизации загрузки незаменяемых групп оборудования.


image

Масштаб решения задачи

Перераспределение работ между станками и группами технологического оборудования может проводиться между отдельными участками цехов, а на предприятии между цехами. Масштаб решения задачи

оптимизации загрузки оборудования и объем перераспределяемых работ при этом определяются целями и задачами исследования.

Для предприятий перерабатывающих отраслей промышленности (машиностроения, обувной промышленности, деревообработки), с прерывным характером процесса производства, парк станочного оборудования является одним из наиболее обширных. В цехах этих предприятий в зависимости от их размеров и специализации, может быть установлено как большое количество мало- производительных, универсальных станков, так и небольшое число высокопроизводительного, специализированного технологического оборудования. Число используемого технологического оборудования, его тип и мощность определяют внутрипроизводственную структуру предприятия, количество его цехов и участков. Это, в свою очередь, обусловливает необходимость перераспределения работ как внутри цеха между отдельными участками, так и между цехами внутри предприятия с целью наиболее полной загрузки станков. Если в первом случае перераспределение загрузки станков осуществляется внутри цеха между отдельными участками, то во втором – между


цехами. В связи с этим, модель оптимизации загрузки оборудования решаемая на уровне предприятия, является более сложной. Она состоит из отдельных блоков, каждый из которых представляет собой модель оптимизации загрузки оборудования цеха, объединенных рядом ограничений и общей целевой функцией.

В отличие от задачи оптимизации загрузки оборудования цеха решаемой в один прием, задача оптимизации загрузки оборудования предприятия решается в несколько этапов. На начальном этапе, решаются отдельные задачи оптимизации загрузки цеха, а затем уже общая задача оптимизации загрузки оборудования всего предприятия. Исходя из результатов полученных расчетов и анализа двойственных оценок вносятся необходимые коррективы в ограничения выпуска продукции и времени работы оборудования.


Краткое повторение

image Задача оптимизации загрузки оборудования задача определения объемов выпуска продукции в зависимости от мощности и типа используемого технологического оборудования.

image Оптимизация загрузки взаимозаменяемого оборудования перераспределение работ между цехами и участками предприятия оснащенных универсальным технологи- ческим оборудованием и станками.

image Оптимизация загрузки невзаимозаменяемого оборудования перераспределение работ между цехами и участками предприятия оснащенных специализированным тех- нологическим оборудованием и станками.

image Масштаб решения задачи величина объема пере- распределения работ между цехами и участками предприятия, оснащенных универсальным технологи- ческим оборудованием и станками, определяемого целями и задачами исследования.


§ 7.2. Оптимизация загрузки оборудования цеха

image

Задача оптимизации загрузки оборудования Л.В. Канторовича

Токарная работа в механическом цехе может производиться на различных станках: токарных, револьверных более усовершенствованных и рево- льверном автомате. Для обработки деталей в цехе имеется три токарных

станка, три револьверных и один автомат. На этих станках в цехе изготовляется два вида деталей, которые отличаются одна от другой своей сложностью и прибылью, которую они приносят. В


Таблица 7.1

Производительность станков механического цеха



Группы станков


Число станков

Производительность по каждому станку

Суммарная производительность

I

деталь

II

деталь

I

деталь

II

деталь

Токарные

3

10

20

30

60

Револьверные

3

20

30

60

90

Автомат

1

30

80

30

80


зависимости от степени сложности детали и станка, на котором она изготовляется, время, затрачиваемое на ее обработку может быть различным. За рабочий день на токарном станке можно изготовить 10 первых деталей либо 20 вторых, на револьверном 20 первых либо 30 вторых, на автомате 30 первых либо 80 вторых. Данные о произ- водительности станков приведены в табл. 7.1. Если учитывать все количество станков, которое имеется в цехе (три токарных, три револьверных и один автомат), то за рабочий день можно изготовить первых деталей на каждой группе станков 30 + 60 + 30, на всех станках 120, вторых деталей 60 + 90 + 80, на всех станках 230. Производство первой детали дает предприятию прибыль 15 грн,


второй детали 10 грн. В течение месяца (21 рабочий день) в цехе должно быть изготовлено не менее 1617 деталей первого вида и такое же количество деталей второго вида.

Для решения задачи необходимо разбить время работы станков механического цеха таким образом, чтобы по возможности загрузить их на полную мощность. При этом важно не просто произвести наибольшее количество деталей, но и найти способ максимального выпуска комплектных изделий, т. е. комплектов, состоящих в данном случае из двух деталей разных видов, из которых впоследствии собирается изделие.

Возможные решения распределения обработки деталей по стан- кам приведено в табл. 7.2.


Таблица 7.2

Распределение обработки деталей по станкам



Группы станков

Простейшее решение

Наиболее выгодное решение

I

деталь

II

деталь

I

деталь

II

деталь

Токарные

20

20

26

6

Револьверные

36

36

60

Автомат

21

21

80

Количество комплектов

77

77

86

86



Если не стараться решать задачу на максимум, а добиваться только комплектности, то можно на каждом станке производить обе детали в одинаковом количестве. Для этого достаточно разбить рабочий день каждого станка так, чтобы он произвел одинаковое число той и другой детали. Тогда оказывается, что токарные станки в течение смены могут обработать 20 первых и 20 вторых деталей. В самом деле, на токарных станках производство 20 вторых деталей эквивалентно 10 первым. Револьверные станки могут обработать тогда 36 первых и 36 вторых, автомат обработать 21 первую и 21 вторую деталь, а общая производительность по всем станкам будет


равна 77 первых и 77 вторых деталей, т.е. 77 комплектов. В этом случае, цех за месяц изготовит 1617 комплектов деталей.

Найдем простейшее решение. Время обработки на токарном станке первой и второй детали соотносится как 1:2, на револьверном станке это отношение 2:3, на автомате 3:8. Это может объясняться разными причинами: одна операция может на всех станках занимать одинаковое время, другая операция может на автомате проходить в 5 раз быстрее, чем на токарном станке, и т. д. Именно в связи с такими условиями эти отношения бывают различными для разных станков при обработке одних и тех же деталей. Одну деталь лучше изготовить на одном станке, другую на другом.

Первую деталь следует обрабатывать на тех станках, где это наиболее выгодно (на револьверных), а второй деталью нужно загрузить автомат. Что касается токарных станков, то между ними следует частично разделить производство первой и второй детали, причем разбивку нужно произвести так, чтобы в сумме получалось одинаковое число первых и вторых деталей.

Если произвести разбивку по этому способу, то цифры будут такие: на токарном 26 и 6; на револьверном только 60 первых деталей, вторых не будет; на автомате 80 вторых, а первых деталей не будет вовсе. Всего при этом, получится 86 первых и 86 вторых деталей.

Таким образом, если произвести перераспределение времени обработки деталей, то за счет этого будет получено не очень большой, но существенный эффект увеличения выработки на 12 %; при этом рост производительности будет получен без каких-либо дополнительных затрат.

Но эта задача решается так легко только в таком случае, когда у нас три станка и две детали. Практически в большинстве случаев встречаются достаточно сложными ситуациями, и найти решение руководствуясь одним только здравым смыслом вряд ли возможно. Трудно надеяться, что можно сразу угадать такое решение.


image

Формализация и решение задачи

Формализация экономико-математической модели задачи оптимизации загрузки оборудования в соответствии с основными канонами линейного моделирования требует строгого определения векторстолбцов

матрицы технологических коэффициентов, ограничений правых


частей и коэффициентов целевой функции. Размерность матрицы модели определяется числом технологических способов (рис. 7.1), которые представляют собой возможные варианты обработки деталей. Для рассматриваемой задачи число возможных вариантов обработки двух видов деталей на трех различных станках (токарном, револьвер- ном и автомате) равняется шести. Ограничениями модели задачи


image

Количество обработанных деталей


Варианты обработки деталей

на разных станках


Величина прибыли в грн. за день получаемая по первому варианту 15·10=150

X1 X2 X3 X4 X5 X6


1 1


1 1


1 1

10 20 30

20 30 80


150 200 300 300 450 800


63

63

21

1617

1617

Число дней работы станков: токарных

21·3 =63

револьвер. 21·3 =63

и автомата

21·1 = 21


Выпуск деталей I и II

видов

21·77=1617



max

Рис. 7.1. Матрица экономико-математической модели оптимизации загрузки оборудования цеха


оптимизации загрузки оборудования, является количество рабочих дней работы станков (трех токарных, трех револьверных и автомата), задаваемого в модели, и выпуска деталей (двух видов), задаваемого в модели двумя неравенствами. Время работы станков определялось исходя из количества станков и рабочих дней. Для токарных станков


оно составило 3 · 21 = 63 дня, револьверных 3 · 21 = 63 дня и автоматов 1 · 21 = 21 день. Выпуск деталей первого и второго вида определялись исходя из количества обрабатываемых за день комплектов и количества рабочих дней. Планируемое количество вы- пуска первой и второй детали при этом, составляет 77 · 21 = 1617 шт.


image

image

Имя Задача решается Количество Общее число

задачи на максимум

ограничений

переменных



ПРИМЕР ЦЕЛЕВ. Ф –Я: MAX ПЕРЕМЕН.: 11 ДАТА 29-02-2004

БАЗИС: ОГРАНИЧЕНИЙ: 5 Ф. ПЕР.: 5 ВРЕМЯ 11:10:26

MAX X.1 X.2 X.3 X.4 X.5 X.6 RHS

Y.1

1

1

Y.2

1

1

Y.3

1

1

Y.4

10

20

30

Y.5

20

30

80

RETURN 150 200 300 300 450 800

Число искусственных переменных


Базовые переменные

0

<= 63

<= 63

<= 21

>= 1617

>= 1617


Основные ограничения

Нормативные Ограничения правых

коэффициенты частей матрицы


Рис. 7.2. Матрица модели оптимизации загрузки обору- дования цеха в формате пакета PLP-2000


Целью решения задачи является максимизация величены прибыли получаемой предприятием от производства деталей. Коэффициентами целевой функции, выступает прибыль, получаемая за день от обработ- ки деталей по тому или иному варианту. Так например, на токарном станке за день можно изготовить 10 деталей первого вида и 20 деталей второго. Дневная прибыль от их обработки деталей при этом составит соответственно 15 · 10 = 150 грн. и 10 · 20 = 200 грн.



Задача оптимизации загрузки оборудования была решена симплексным методом на компьютере с помощью пакета прикладных программ линейного программирования PLP-2000. Текст исходной матрицы решаемой оптимизационной задачи загрузки оборудования в формате пакета PLP-2000 приведен на рис. 7.2. Кроме матрицы


image

image

image

image

Имя Решение Дата Время задачи оптимально решения решения


ПРИМЕР РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДАТА 29-02-2004 ВРЕМЯ 11:20:26


MAXIMUM

ВВОДИМ : X.2

БАЗИС X : 4

ПЕРЕМЕН. :

6

ИТЕРАЦ :

7

ВЫВОД. : S.4

БАЗИС S : 1

Ф. ПЕР. :

5

ТОЧ. INV :

0

ОЦЕН. 50

RETURN 46515

ОГРАНИЧЕНИЙ:

5

image

BASIS

X.1

X.2

X.3

Х.6

S.5

РЕШЕН.

35.8

27.2

63

21

609

ОЦЕН.

- 5

200

400

0

800

Значение целевой функции


Базовая Искусственная

переменна


Двойственные оценки


Значение базовой переменной

переменная


Значение искусственной переменной


Рис. 7.3. Решение задачи оптимизации загрузки оборудования цеха в формате пакета PLP-2000


модели, ее нормативных коэффициентов, ограничений правых частей (столбец RHS), коэффициентов максимизируемой целевой функции (строка RETURN), имени решаемой задачи, здесь также дано общее число переменных и количество ограничений, число фиктивных переменных. Последнее особенно важно, так как дает возможность более полного анализа результатов полученных решений.

Результаты решения рис. 7.3 показывают, что при оптимальной загрузке станков в механическом цехе может быть получена прибыль


в размере 46 515 грн. При этом время работы токарных станков должно быть разделено между первой и второй деталью. Причем из 63 дней работы токарных станков на обработку первой детали должно быть отведено 35,8 дней, а на обработку второй 27,2 дней. Если


ПРИМЕР ЦЕЛЕВ. Ф –Я: MAX ПЕРЕМЕН.: 11 ДАТА 29-02-2004 БАЗИС: ОГРАНИЧЕНИЙ: 8 Ф. ПЕР.: 8 ВРЕМЯ 11:30:26 MAX X.1 X.2 X.3 X.4 X.5 X.6 Х.7 Х.8 RHS

RETURN 150 200 300 300 450 800 0


Y.1

1

1

<= 63

Y.2

1 1

<= 63

Y.3

1

1

<= 21

Y.4

10

20

30

-1

= 0

Y.5

20

30

80

-1

= 0

Y.6

1

>= 1820

Y.7

1

>= 1820

image

image

Y.8 1 -1 = 0


Ограничения

Отраженная

Уравнение

Отраженная

по выпуску

переменная баланса

Х.7

переменная

Х.8



Рис. 7.4. Модифицированная матрица модели оптимизации загрузки оборудования в формате пакета PLP-2000


учесть, что обработка деталей производится на трех токарных станках, то в течение 21 дня на первом станке можно обрабатывать первую деталь. Изменения в работе коснутся второго станка, так как 14,8 дня на нем следует обрабатывать первую деталь и 6,2 дня вторую. Что же касается третьего токарного станка, то в течение 21 дня он будет обрабатывать вторую деталь. Три револьверных



станка и автомат при этом будут полностью задействованы на обработке первой и второй детали. Это целиком подтверждает, что первую деталь следует обрабатывать на револьверных станках, а вторую на автомате. Реализация такого рода плана даст возможность ежемесячно получать 1617 комплектов деталей, что вполне соответствует ранее предложенному простейшему решению. Анализ значения введенной в строку матрицы Y.5 искусственной переменной S.5 показывает, что на автомате будет дополнительно обработано 609 деталей второго вида. Эти детали будут не комплектны. Для выполнения условия комплектности деталей


ПРИМЕР РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДАТА 29-02-2004 ВРЕМЯ 11:40:26


MAXIMUM

ВВОДИМ : S.6

БАЗИС X : 6

ПЕРЕМЕН. :

8

ИТЕРАЦ : 10

ВЫВОД. : X.4

БАЗИС S : 2

Ф. ПЕР. :

5

ТОЧ. INV : 0

ОЦЕН. 25

RETURN 45500

ОГРАНИЧЕНИЙ:

8

image

BASIS X.1 X.2 X.3 Х.6 X.7 X.8

РЕШЕН. 56 7 63 21 1820 1820

ОЦЕН. -1667 0 333.3 1.667 -1.667 666.7

Значение целевой функции


Объем выпуска деталей первого вида

Объем выпуска деталей второго вида



Рис. 7.5. Решение модифицированной задачи оптимальной загрузки оборудования в формате пакета PLP-2000


необходимо еще выпустить 609 деталей первого вида, что потребует дополнительного времени, или сбалансировать выпуска деталей обоих видов. Это потребует введения в модель ряда дополнительных ограничений. В модифицированной матрице модели представленной на рис. 7.4, этими ограничениями выступают строки Y.4 и Y.5 (ограни- чения по суммарному выпуску деталей) и строка Y.8 (уравнение баланса деталей). Введение в ограничения модели отраженных переменных дает возможность получить суммарную величину вы- пуска деталей первого и второго вида обрабатываемых на различных


станках. При этом с помощью переменных Х.7 и Х.8 ограничений модели Y.4 и Y.5, аккумулируется весь суммарный выпуск деталей, а с помощью ограничений Y.6 и Y.7 устанавливается возможный объем их выпуска не менее 1820 деталей каждого вида. С помощью уравнения Y.8 выполняется необходимое условие комплектности деталей первого и второго вида.

Результаты решения модифицированной задачи оптимальной загрузки оборудования (рис.7.5) показывают, что достижение необходимой комплектности обработки деталей на различных станках привело к снижению получаемой прибыли с 46515 грн. до 45500 грн. При этом предполагается обрабатывать по 1820 шт. деталей первого и второго видов, что соответствует наиболее выгодному варианту их производства представленному в таблице 7.2. Как и предыдущее решение, оно предполагает производить обработку деталей первого вида на трех револьверных станках, а деталей второго вида на автомате. Комплектность выпуска деталей при этом, достигается за счет сокращения времени на обработку деталей первого вида, и увеличения времени на обработку деталей второго вида на токарных станках.


Краткое повторение


image Задача оптимизации загрузки оборудования цеха задача рационального распределения работ между установленным в цехе технологическим оборудова- нием и станками.


image Комплектность выпуска деталей одно из условий обеспечения сбалансированного выпуска отдельных деталей для производства комплектных изделий.


§ 7.3. Оптимизация загрузки оборудования предприятия


image

Задача оптимизации загрузки оборудования предприятия

Эта задача приобретает особое значение для крупных предприятий (отраслей) с большим количеством структурных подразделений, где используется различное технологи- ческое оборудование и способы

изготовления продукции, которые могут отличаться различными вариантами использования оборудования и станков.

Рассмотрим решение этой задачи на примере предприятия, которое состоит из нескольких цехов. Пусть на предприятии помимо цеха работу которого рассмотрено в предыдущем примере и который в дальнейшем будет именоваться как цех № 1, имеется еще цех № 2.


Таблица 7.3

Производительность станков цехов предприятия



Группы станков

Цех №1

Цех №2


Число станков

Суммарная производительность


Число станков

Суммарная производительность

I

деталь

II

деталь

I

деталь

II

деталь

Токарные

3

30

60

1

10

20

Револьверные

3

60

90

6

120

180

Автомат

1

30

80

1

30

80



В этом цеху работают один токарный станок, пять револьверных и один автомат, на которых производятся детали первого и второго видов. Полный перечень станков, которые работают в цехах нашего предприятия и их производительность приведены в таблице 7.3.

На предварительном этапе решения распределим имеющиеся ресурсы (на основе прошлого опыта) между двумя цехами. При этом


в цехе № 1 токарные и револьверные станки будут работать 63 дня, а автомат 21 день. В соответствии с планом на них необходимо обработать 1617 комплектов деталей. В цехе № 2 токарный станок и автомат будут работать 21 день, револьверные станки 126 дней. Планируемый объем выпуска деталей при этом, должен составить 2100 деталей первого вида и 2100 деталей второго вида.


image

Этапы решения задачи

Решим задачу оптимизации загрузки оборудования для каждого из цехов в отдельности. При этом, будет получено два решения для цехов № 1 и № 2. Решение задачи оптимизации загрузки оборудования

цеха № 1 представлено на рис. 7.3. Из решения этой задачи видно, что прибыль предприятия от обработки 1617 комплектов деталей в цехе № 1 составляет 46515 грн. Значение искусственной переменной

S.5 показывает, что также будет дополнительно произведено 609 шт.


ПРИМЕР ЦЕЛЕВ. Ф –Я: MAX ПЕРЕМЕНН.: 11 ДАТА 29-02-2004 БАЗИС: ОГРАНИЧЕНИЙ: 5 Ф. ПЕР.: 5 ВРЕМЯ 11:50:26 MAX X.1 X.2 X.3 X.4 X.5 X.6 RHS

RETURN 150 200 300 300 450 800 0


Y.1

1

1

<= 21

Y.2

1

1

<= 126

Y.3

1

1

<= 21

Y.4

10

20

30

>= 2100

Y.5

20

30

80

>= 2100


Рис. 7.6. Матрица модели оптимизации загрузки оборудования цеха № 2 в формате пакета PLP-2000


некомплектных деталей второго вида. Для обеспечения требований комплектности изделий, необходимо скорректировать производ- ственную программу цеха № 1 в сторону возможного увеличения выпуска деталей первого вида и сокращения выпуска деталей второго


вида. Однако такого рода коррективы неизбежно приведут к уменьшению получаемой прибыли. Двойственные оценки показывают, что корректирование программы работы токарных станков, связанное с увеличением времени обработки деталей первого вида и сокращением времени деталей второго вида, приведет к потере величены получаемой прибыли в размере 5 грн (переменная X.1) для каждого дня работы станка. Наиболее целесо- образным является изучение возможности кооперирования работы цехов №1 и №2. Для этого сначала решим локальную задачу оптими- зации загрузки оборудования цеха № 2, матрица которой, представлена


ПРИМЕР РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДАТА 29-02-2004 ВРЕМЯ 12:00:26


MAXIMUM

ВВОДИМ :

Х.2

БАЗИС X : 4

ПЕРЕМЕН. :

6

ИТЕРАЦ :

7

ВЫВОД. :

S.1

БАЗИС S : 1

Ф. ПЕР. :

5

ТОЧ. INV :

0

ОЦЕН.

200

RETURN 58800

ОГРАНИЧЕНИЙ:

5

image

image

BASIS X.2 X.3 S.4 X.6 X.4

РЕШЕН. 21 126 420 21 0

DUAL 200 300 800 0 0

Значение целевой функции


Искусственная переменная

Значение искусственной переменной


Рис. 7.7. Решение задачи оптимальной загрузки оборудования цеха № 2 в формате пакета PLP-2000


на рис. 7.6. Полученное решение (рис. 7.7) говорит о том, что производство 2100 комплектов деталей в цехе № 2 дает прибыль в размере 58 800 грн. Кроме того, будет дополнительно изготовлено 420 шт. не комплектных деталей первого вида. В связи с этим, имеет смысл объединить усилия обеих цехов. Для этого построим блочную матрицу модели оптимизации загрузки оборудования с общей целевой функцией, где каждый цех будет представлен как отдельный блок. Общими будут также ограничения по выпуску деталей первого и второго видов. Ограничения времени работы станков для каждого


из блоков задаются в отдельности, что обусловлено особенностями размещения оборудования.


ПРИМЕР

ЦЕЛЕВ. Ф –Я: MAX

ПЕРЕМЕН.: 16

ДАТА 29-02-2004

БАЗИС:

ОГРАНИЧЕНИЙ: 5

Ф. ПЕР.: 8

ВРЕМЯ 12:10:26

MAX X.1 X.2 X.3 X.4 X.5 X.6 Х.7 X.8 X.9 X.10 X.11 X.12 X.13 X.14 X.15 X.16 RHS RETURN 150 200 300 300 450 800 150 200 300 300 450 800 0

image

    1. 1 1

    2. 1 1

    3. 1 1

      Блок матрицы модели цеха № 1

      <= 63

      <= 63

      <= 21

      Y.4 10 20 30 -1 = 0

      Y.5 20 30 80 -1 = 0

      Y.6 1 1 <= 21

      Y.7 1 1 <= 84

      Блок матрицы

      Y.8

      Y.9

      модели цеха № 2

      1 1 <= 42

      10 20 30 -1 = 0

      Y.10 20 30 80 -1 = 0

      Y.11 1 1 >= 4137

      Общие ограничения по вы-

      Y.12

      Y.13

      пуску деталей первого вида

      1617 + 2100 + 420 = 4137

      1 1 >= 4137

      1 1 -1 -1 = 0



      Общие ограничения по вы- пуску деталей второго вида 1617 + 2100 + 420 = 4137

      Ограничение баланса выпуска деталей



      Рис. 7.8. Матрица модели оптимизации загрузки оборудования на предприятии в формате пакета PLP-2000


      Матрица модели оптимизации загрузки оборудования представ- лена на рис. 7.8. Матрица состоит из двух блоков нормативных коэффициентов обработки деталей в цехов №1 и №2, ограничений


      времени работы станков и общих ограничений выпуска деталей. Количество комплектов деталей рассчитывалось как суммарное число обрабатываемых деталей цехом № 1 и цехом № 2 с учетом по- лучения некомплектных изделий. Результаты произведенных расчетов


      ПРИМЕР РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДАТА 29-02-2004 ВРЕМЯ 12:20:26


      MAXIMUM

      ВВОДИМ : Х.1

      БАЗИС X : 12

      ПЕРЕМЕН. :

      16

      ИТЕРАЦ :

      19

      ВЫВОД. : Х.5

      БАЗИС S : 1

      Ф. ПЕР. :

      8

      ТОЧ. INV :

      0

      ОЦЕН. 37.5

      RETURN 104090

      ОГРАНИЧЕНИЙ:

      13

      image

      BASIS X.1 X.9 X.15 S.11 X.6 X.7 X.2 X.3 X.11 X.12

      X.14 X.16 X.13

      РЕШЕН. 4.083 126 2880 44 21 21 58.92 63 5.017 15.98

      2858 1279 1301

      DUAL 166.7 333.3 666.7 -1.667 1.667 133.3 266.7 400 1.667 5

      0 3.333 -1.667

      Значение искусственной Величина

      переменной прибыли


      Рис. 7.9. Решение задачи оптимальной загрузки оборудования предприятия в формате пакета PLP-2000


      рис. 7.9 показывают, что оптимизация загрузки оборудования двух цехов дала возможность увеличить выход комплектов деталей до 4137 шт. Количество производимых деталей рассчитывалось как суммарная величина комплектов деталей выпускаемых цехами №1 и

      №2 (1617 + 2100 = 3717). При этом учитывалось также количество не комплектных деталей второго и первого видов выпускаемых цехом

      №1 и цехом №2. Расхождения в комплектности изделий по предприятию для решаемых локальных задач первоначально составляло 189 шт. деталей второго вида (609 – 420 = 189). С учетом этого была определена окончательная величина выпуска комплектов деталей 4137 шт. (1617 + 2100 + 420 = 4137). Значение искусственной переменной S.11 говорит о том, что не комплектность изделий в целом сократится до 44 шт. Суммарная величина прибыли полученная предприятием будет составлять 104090 грн.


      Краткое повторение


      image Задача оптимизации загрузки оборудования предприятия задача рационального рас- пределения работ между цехами предприятия.

      image Блочная матрица оптимизации загрузки оборудования объединенная матрица лока- льных задач рационального распределения работ на предприятии.



      ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ


      блочная матрица загрузки оборудования взаимозаменяемость оборудования комплектность выпуска деталей невзаимозаменяемость оборудования


      оптимизация загрузки оборудования оптимизация загрузки предприятия оптимизация загрузки цеха


      Контрольные вопросы и задания

      ?

      1. Что представляет собой оптимизация загрузки оборудования?

      2. Чем определяется масштаб решения этой задачи?

      3. Задача оптимизации загрузки оборудования Л.В. Канторовича.

      4. Формализация и решение задачи Л.В. Канторовича.

      5. Этапы решения задачи оптимизации загрузки оборудования.

7. Просчитайте примеры задач на компьютере.

image

В этой главе рассмотрены важнейшие аспекты оптимального распределения лимитированных ресурсов. Показано, что эффективность использования этих ресурсов зависит не только от их коли- чества, но также их распределения по разным направлениям (разным видам работ, технологическому применению).

Г л а в а

8

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ


§ 8.1. Оптимальное распределение ресурсов


image

Задача распределения ресурсов

Оптимальное распределение ресурсов это одна из наиболее трудных и сложных задач совершенствования организации и управления промышленного производства. Распределение сырья, материалов, топлива,

электроэнергии, воды, финансовых средств, оборудования, транспорта, рабочей силы, машинного времени и т. д. все это задачи распределения ресурсов.

Важность решения этих задач определяется тем, что в каждый данный момент времени количество требуемых ресурсов является ограниченным. При этом, все ресурсы которые используются в процессе производства принято делить на невоспроизводимые и воспроизводимые. К невоспроизводимым ресурсам, относят раз- рабатываемые запасы природных ископаемых, уголь, нефть, газ. К воспроизводимым машины, станки, технологическое оборудование, материалы, производственные кадры.

Общепринятой классификации ресурсов сейчас не существует. Можно указать лишь на то, что в экономико-математическом моделировании принято рассматривать следующие виды ресурсов:


природные (земельные и водные ресурсы, воздушная атмосфера, космос);

сырьевые и энергетические (железная и марганцевая руда, медь, никель, алюминий, уголь, нефть, газ и т. д.);

средства производства (производственные мощности);

трудовые (население и его отдельные профессиональные группы в зависимости от специальности и уровеня квалификации);

финансовые (капитальные вложения, кредиты и др.).



Ресурс одно из широко распространенных общих понятий, используемых в экономико- математическом моделировании, в связи с ограниченностью возможностей материально- вещественной стороны производства.


Несмотря на ограниченность ресурсов, не во всех, а только части их, производство испытывает острый недостаток. Их обычно называют дефицитными (в отличие от тех ресурсов, которые не лимитируют данное производство). Относительная дефицитность ресурсов, при этом может быть изменена не только в динамике, но частично и в статике за счет рационального их распределения.


image

Взаимо- заменяемость ресурсов

Возможность взаимозаменяемости ресурсов это выбор варианта замены одного ресурса другим. Если нет заменяемости, нет и выбора. Это определяет возможность принятия различ- ных вариантов организационно-технологичес-

ких решений развития производства, повышения его эффективности. Для того, чтобы обеспечить промышленность конструкционными материалами, можно увеличить выплавку металла, сократить его отходы, или увеличить производство пластмасс (в конечном счете обычно принимается вариант, в том или ином соотношении

использующий все эти пути).


Обеспечить потребность страны в электрической энергии можно путем строительства гидростанций, тепловых и атомных станций, но можно использовать часть инвестиций в совсем ином направлении: сокращении потерь при передаче электроэнергии, в совершенст- вовании электропечей и электродвигателей, бытовой электротехники. В каждом случае необходимо найти оптимальный вариант. Поэтому модели и методы расчетов для определения эффективности взаимной замены одних ресурсов другими имеют большое значение.

При этом, различают технологическую и экономическую взаимо- заменяемость ресурсов. Не всякие ресурсы взаимозаменяемы технологически, могут быть заменены в производстве с экономи- ческой точки зрения.


image

Технологическая заменяемость ресурсов

Эффективность использования ресурсов в зависимости от распределения их по разным направлениям (разным работам, технологи- ческому применению, конечному использо- ванию) может быть различной. Возможности

использования ресурсов еще более возрастают в связи с технологи- ческой их заменяемостью на всех стадиях процесса производства. При этом выделяются следующих три возможности технологической заменяемости ресурсов:


один ресурс разные способы использования. Примерами этого может служить использование леса как строительного материала и сырья для бумажной промышленности, а также нефти как исходного продукта для получения горюче-смазочных материалов и сырья для химической промышленности;


различные ресурсы одно целевое назначение. Например: использование торфа, угля, нефти и газа для получения электрической энергии на тепловых электростанциях. Сюда же можно добавить и использование обогащенного урана как топлива в ядерной энергетике;


разное во времени использование ресурсов. Примерами чему являются разные сроки освоения природных ресурсов; введения в строй промышленных мощностей; инвестирования в производство.


Технологическая взаимозаменяемость ресурсов и множествен- ность возможных способов производства продукции являются основой нахождения оптимизационных решений.


Краткое повторение

image Распределение ресурсов распределение сырья, материалов, топлива, электроэнергии, воды, финансовых средств, оборудования, транспорта, рабочей силы.


image Взаимозаменяемость ресурсов это выбор возможного варианта замены одного ресурса другим.


image Технологическая заменяемость ресурсов возможность замены ресурса на всех стадиях процесса производства.


§ 8.2. Распределение ресурсов внутри цеха


image

Модель внутрицехового распределения ресурсов

Рассмотрим экономико-математическую модель распределения лимитированных ресурсов внутри цеха. Эта модель дает возможность для нахождения оптимального варианта распределения ресурсов, между отдельными технологическими процессами

(технологическими способами). При этом предполагается, что


каждый из заданных в модели технологических способов, дает возможность получения какого-либо одного вида продукции. Объем потребляемых ресурсов и количество выпускаемой продукции ограничены. Для формализации модели внутрицехового распределе- ния лимитированных ресурсов между отдельными технологическими способами производства введем ряд следующих обозначений:


j технологический способ производства продукции;

n число технологических способов производства;

i вид ресурсов;

m число видов ресурсов;

i

l количество выделенных цеху l ресурсов вида i;

aij нормативный коэффициент затрат ресурсов i на выпуск продукции с использованием технологического способа производства j;

c j прибыль от выпуска единицы продукции полученной с использованием технологического способа производства j;

j

xl количество продукции, получаемой по технологическому

способу производства j в цехе l.


Математическая модель. Используя имеющиеся ресурсы,

x

j

количество которых ограничено, найти оптимальные значения l

nl

ij j i

a

j 1

xl  l

image

i 1, m , (8.1)

позволяющие получить максимальную прибыль

nl

c xl

max,

(8.2)

j j

j 1

при условии неотрицательности переменных

j

xl 0,


image

j 1, n . (8.3)


image

Постановка и решение задачи внутрицехового распределения ресурсов

Кожевенный завод специализируется на производстве кожевенных мате- риалов, которые используются для изготовления обуви. В цехе № 6 кожевенного завода выполняется ряд технологических операций, связан-

ных с переработкой дубленого полуфабриката «WETBLUE» в готовый продукт. В соответствии с используемой технологией, здесь выполняются необходимые операции для получения хромовых кож, юфти, нубука и шевро. Лимиты дефицитных ресурсов вы- деленных цеху № 6 составляют: дубленый полуфабрикат 21200 м 2 ;

хромовый дубитель 3666 кг и кальцинированной соды 63 кг; вода 235 м 3 . Известно, что прибыль получаемая заводом от


Таблица 8.1

Нормативные расходы на производство продукции



Производимая продукция

Нормативные расходы на один м 2

выпускаемых кожевенных материалов

Хромовый дубитель, кг

Кальциниро- ванная сода, кг

Вода, м 3

Хромовая кожа

0,57

0,006

0,0125

Юфть

0,008

0,0008

0,01

Нубук

0,039

0,004

0,0125

Шевро

0,012

0,0008

0,01


выпуска одного м 2

кожевенных материалов составляет: хромовые

кожи 45 грн, юфть 50 грн, нубук 60 грн и шевро 55 грн. Нормативные коэффициенты расходов химических реагентов и воды на производство продукции приведены в табл. 8.1. При этом планируется получить: хромовых кож 5800 м 2 , юфти 5500 м 2 ,

нубука 5000 м 2

и шевро 4300 м 2 . Целью решения задачи


является нахождение оптимального варианта переработки дубленого полуфабриката «WETBLUE» в конечный продукт, позволяющего получить максимальную прибыль.

Формализация этой задачи и решение с помощью методов линейного программирования неизменно предполагает необходимость построения матрицы модели (рис. 8.1). Количество вектор-столбцов


image

Количество кожевенных материалов



Варианты производства


Норматив- ные


X1 X2 X3 X4


1

1

.57

.008

.006

.0008

1 1

.039 .012

.004 .0008


21200

3666

63

Дубленый полу- фабрикат

«WETBLUE»


Лимиты

коэффи- химических

циенты


Прибыль за один м 2 , грн.

.0125 .01 .0125 .01

1

1

1

1


45 50 60 55

235

5800

5500

5000

4300


max

материалов и вода


Выпуск кожевен- ных материалов


Рис. 8.1. Матрица модели оптимального распределения ресурсов в цехе №6 кожевенного завода


матрицы модели будет определятся числом альтернативных вариантов переработки дубленого полуфабриката в конечный продукт. Из условий задачи видно, что таких вариантов четыре. Они, в свою очередь, определяют возможность производства таких кожевенных материалов, как хром, юфть, нубук и шевро. Ограничениями матрицы


модели будет выступать задаваемая система неравенств затрат полуфабриката, расходуемых химических материалов, воды, лимиты которых ограничены и выпуска кожевенных материалов. Числовыми коэффициентами матрицы модели будут служить нормативные вели-


image

image

image

image

Имя Задача решается Количество Общее число задачи на максимум ограничений переменных


ПРИМЕР ЦЕЛЕВ. Ф –Я: MAX ПЕРЕМЕН.: 10 ДАТА 08-03-2004

БАЗИС: ОГРАНИЧЕНИЙ: 8 Ф. ПЕР.: 8 ВРЕМЯ 15:10:13

image

MAX X.1 X.2 X.3 X.4 RHS

RETURN 45 50 60 55

Y.1 1 1 1 1

Число искусственных переменных

0

<= 21200

Y.2 .57 .008 .039 .012 <= 3666

Y.3 .006 .0008 .004 .0008 <= 63

Y.4 .0125 .1 .0125 .01

Основные переменные

<= 235

Y.5 1 <= 5800

Y.6 1 <= 5500

Y.7 1 <= 5000

Y.8 1 <= 4300


Ограничения модели

Нормативные Ограничения правых

коэффициенты частей матрицы


Рис. 8.2. Матрица модели распределения ресурсов в цехе № 6 в формате пакета PLP-2000


чины затрат и выпуска продукции. В качестве одного из приемов при формализации реализуемых в модели функциональных зависимостей используется введение коэффициентов пропорциональности для оптимального распределения дубленного полуфабриката между


отдельными технологическими способами производства. Полностью в построенном виде матрица модели внутрицехового распределения ресурсов показана на рис. 8.1. Целевая функция матрицы модели максимизирует величину получаемой прибыли. Коэффициентами


image

image

image

image

Имя Решение Дата Время

задачи

оптимальное

решения решения


ПРИМЕР РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДАТА 08-03-2004 ВРЕМЯ 15:10:14


MAXIMUM

ВВОДИМ : S.3

БАЗИС X : 4

ПЕРЕМЕН. :

4

ИТЕРАЦ :

7

ВЫВОД. : S.7

БАЗИС S : 4

Ф. ПЕР. :

8

ТОЧ. INV :

0

ОЦЕН. 2916.67

RETURN 1083500

ОГРАНИЧЕНИЙ:

8

BASIS X.1 X.2 X.3 Х.4 S.1 S.2 S.3 S.8

РЕШЕН. 5800 5500 5000 4300 400 67 .2 200

ОЦЕН. – 23.75 - 5 -8.75 0 0 0 0 550

image

Значение целевой функции


Базовая

Искусственная